泊松分布

在考察常见分布时，我们转向另一个重要的离散分布：泊松分布。二项分布对固定次数试验中的成功次数进行建模，而泊松分布则对事件在指定时间或空间间隔内发生的次数进行建模。可以考虑以下计数情况：每小时收件箱中收到的电子邮件数量、一分钟内通过高速公路上某点的汽车数量，或者印刷页面上的错别字数量。

泊松分布由单一参数 $\lambda$ (lambda) 定义，该参数表示事件在间隔内发生的平均速率或预期次数。此 $\lambda$ 必须为正值 ($\lambda > 0$)。

当其概率质量函数 (PMF) 如下所示时，离散随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记作 $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$：

$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

其中：

• $k$ 是发生次数（非负整数：$k = 0, 1, 2, ...$）
• $\lambda$ 是平均发生率（事件的预期次数）
• $e$ 是自然对数的底（约等于 2.71828）
• $k!$ 是 $k$ 的阶乘

此公式计算在给定平均速率为 $\lambda$ 的情况下，在间隔中观察到恰好 $k$ 个事件的概率。

泊松分布的性质

泊松分布具有一些独特的性质：

1. 均值： 期望值（均值）等于速率参数：$E[X] = \lambda$。这在直观上说得通；我们期望看到的平均事件数 就是 速率 $\lambda$。
2. 方差： 方差也等于速率参数：$\text{Var}(X) = \lambda$。这是一个独特的特性。这意味着随着平均事件数的增加，事件数的分散或变异性也随之增加。
3. 形状： 分布的形状取决于 $\lambda$。当 $\lambda$ 较小时，分布高度右偏。随着 $\lambda$ 增加，分布变得更加对称，并近似于正态分布（这是与中心极限定理有关的结果，我们将在后面讨论）。

泊松分布何时适用？

当以下条件在所计数的事件中得到合理满足时，泊松分布是一个好的模型：

• 独立性： 事件彼此独立发生。一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
• 恒定速率： 事件发生的平均速率 ($\lambda$) 在整个间隔内是恒定的。
• 非同时性： 事件不能在同一时刻发生。
• 比例性： 在一个非常小的间隔内事件发生的概率与该间隔的长度成比例。

泊松分布的可视化

让我们可视化不同 $\lambda$ 值的 PMF。请看随着 $\lambda$ 增加，形状如何变化。

泊松分布的概率质量函数，参数为 $\lambda = 3$、$\lambda = 7$ 和 $\lambda = 15$。随着 $\lambda$ 增加，分布向右移动并变得更分散、更对称。

机器学习和数据分析中的应用

泊松分布常用于：

• 计数数据建模： 直接对表示计数的变量进行建模，例如广告点击次数、网站流量或设备故障。
• 排队论： 分析等待队列，例如客户到达服务台或任务进入计算队列。
• 风险建模： 估计罕见事件的发生频率，例如保险索赔或事故。
• 特征工程： 有时，泊松分布的计数可作为机器学习模型中的特征使用。
• 泊松回归： 一种广义线性模型，当响应变量为计数时使用。

“了解泊松分布为对基于计数的现象进行建模奠定了基础，这些现象经常出现在数据集中。它的简单性，仅由一个参数 $\lambda$ 定义，使其成为许多计数数据问题的有用起点。我们将在本章后面看到如何在 Python 中通过计算使用此分布。”