使用逆矩阵求解 Ax = b

我们再来看看表示线性方程组的矩阵方程：

矩阵方程 Ax = b 表示一个线性方程组。

这里，$A$ 是系数矩阵（已知），$x$ 是未知变量向量 (vector)（我们希望找出），$b$ 是常数项向量（我们也已知）。我们的目标是分离并找出向量 $x$。

回想一下简单的代数运算。如果你有一个方程，例如：

$$5x = 10$$

你如何求解 $x$？你通常会用 5 除以方程两边。另一种思考方式是，将方程两边乘以 5 的乘法逆元，即 $\frac{1}{5}$ 或 $5^{-1}$：

$$5^{-1}(5x) = 5^{-1}(10)$$ $$(5^{-1} \cdot 5)x = \frac{10}{5}$$ $$1 \cdot x = 2$$ $$x = 2$$

矩阵逆 $A^{-1}$ 对于矩阵方程 $Ax = b$ 起着类似的作用。如果矩阵 $A$ 可逆（意思是它是方阵且其逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，如前一节所述），我们就可以使用逆矩阵来求解 $x$。

我们从方程开始：

$$Ax = b$$

现在，就像我们在简单例子中乘以标量逆元 $5^{-1}$ 一样，我们可以将矩阵方程的两边乘以矩阵逆 $A^{-1}$。请记住，矩阵乘法不满足交换律，因此顺序很重要。由于 $x$ 是被 $A$ 从左侧乘以的，我们需要将两边前乘 $A^{-1}$（从左侧相乘）：

$$A^{-1}(Ax) = A^{-1}b$$

矩阵乘法具有结合律，这意味着我们可以重新组合左侧的项：

$$(A^{-1}A)x = A^{-1}b$$

回想一下矩阵逆的定义：将一个矩阵乘以它的逆矩阵会得到单位矩阵 $I$。所以，$A^{-1}A = I$：

$$Ix = A^{-1}b$$

最后，请记住单位矩阵的属性：将任何矩阵或向量乘以单位矩阵，其值不变（$Ix = x$）。因此：

$$x = A^{-1}b$$

这为我们提供了一个找出解向量 $x$ 的公式。如果我们能找出系数矩阵 $A$ 的逆，我们只需将其乘以常数向量 $b$ 即可得到未知数向量 $x$。

这个理论解法非常简洁。它告诉我们，如果 $A$ 可逆，则方程组 $Ax=b$ 有一个由 $x = A^{-1}b$ 给出的唯一解。这直接将矩阵逆的思想与求解线性方程组联系起来。

然而，需要提醒的是：尽管 $x = A^{-1}b$ 这个公式对于理解理论非常重要，但在实际中，显式计算逆矩阵 $A^{-1}$ 然后进行矩阵-向量乘法，通常不是求解方程组计算效率最高或数值最稳定的方法，特别是对于大型系统。可以把它看作是直接计算 $10/5$，而不是先找出 $5^{-1}=0.2$ 然后计算 $0.2 \times 10$。对于简单的数字来说，这没什么大不了，但对于矩阵，找出逆矩阵的过程可能计算量大且容易产生浮点误差。

在接下来的章节中，我们将看到 NumPy 等库如何让我们计算 $A^{-1}$，但更重要的是，我们将学习专门设计用于直接高效求解 $Ax = b$ 的函数，通常无需显式形成逆矩阵。这些方法在实际使用中通常更受青睐。