使用矩阵表示线性方程

许多计算问题都涉及到为一组未知变量找到值，使得它们同时满足多个线性关系。比如根据供需方程来确定产品的合适价格，或者在预算限制下确定资源的最佳分配。这些情况经常会形成线性方程组。

一个包含两个方程和两个未知变量 $x_1$ 和 $x_2$ 的系统：

$2x_1 + 3x_2 = 7$ $1x_1 - 1x_2 = 1$

我们的目标是找到使这两个方程都成立的 $x_1$ 和 $x_2$ 的值。虽然我们可以使用基础代数中的代入法或消元法来解这个系统，但线性代数提供了一种更系统、可扩展的方法，尤其是在处理大量方程和变量时。第一步是使用矩阵和向量 (vector)来表示这个系统。

我们可以把这个系统分成三个不同的部分：

1. 变量的系数（即与 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘的数字）。
2. 变量本身（$x_1$， $x_2$）。
3. 方程右侧的常数（7 和 1）。

我们将这些部分组织成矩阵和向量的形式。

系数矩阵 (A)

我们将变量的系数收集到一个矩阵中，我们称之为 $A$。矩阵中的每一行对应一个方程，每一列对应一个变量。

对于我们的例子系统： $2x_1 + 3x_2 = 7$ $1x_1 - 1x_2 = 1$

系数是 2、3、1 和 -1。我们将其排列如下：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

第一行 $[2 \quad 3]$ 包含第一个方程的系数。第二行 $[1 \quad -1]$ 包含第二个方程的系数。第一列 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ 包含 $x_1$ 的系数，第二列 $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ 包含 $x_2$ 的系数。

变量向量 (vector) (x)

未知变量被排列成一个列向量，通常表示为 $x$：

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

常数向量 (vector) (b)

方程右侧的常数也被排列成一个列向量，通常表示为 $b$：

$$b = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}$$

组装矩阵方程：Ax = b

现在，这些部分是如何组合在一起的呢？回顾上一章中矩阵乘法的定义。我们将系数矩阵 $A$ 乘以变量向量 (vector) $x$：

$$Ax = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

进行矩阵-向量乘法（$A$ 的每一行与列向量 $x$ 的点积）：

$$Ax = \begin{bmatrix} (2 \times x_1) + (3 \times x_2) \\ (1 \times x_1) + (-1 \times x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + 3x_2 \\ x_1 - x_2 \end{bmatrix}$$

仔细观察得到的向量。它的第一个元素 $2x_1 + 3x_2$，正是我们第一个原始方程的左侧。它的第二个元素 $x_1 - x_2$，是第二个原始方程的左侧。

原始系统规定这些表达式必须分别等于常数 7 和 1。我们将这些常数记录在向量 $b$ 中。因此，我们可以将整个方程组写成一个单一的矩阵方程：

$$Ax = b$$

代入我们的矩阵和向量：

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}$$

这个紧凑形式 $Ax = b$ 完美地表示了原始的线性方程组。

一般形式

这种表示方式不限于两个方程。任何包含 $n$ 个未知数的 $m$ 个线性方程组：

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2$ $\vdots$ $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m$

都可以写成矩阵形式 $Ax = b$，具体如下：

• $A$ 是 $m \times n$ 的系数矩阵： $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$$
• $x$ 是 $n \times 1$ 的变量列向量 (vector)： $$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$
• $b$ 是 $m \times 1$ 的常数列向量： $$b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$$

这种 $Ax = b$ 格式是线性代数中的标准形式。它将已知的系数 ($A$)、未知变量 ($x$) 和目标结果 ($b$) 分开。这种结构有益处，因为它使我们能够运用矩阵代数中强大的运算和思路，例如矩阵求逆（我们稍后会讨论），以高效地分析和解决这些系统。以这种形式表示数据和关系在许多学科中都很常见，包括机器学习 (machine learning)，你可能会在线性回归等算法中遇到它。