矩阵的逆

单位矩阵 $I$ 在矩阵乘法中扮演着数字1的角色：将矩阵 $A$ 乘以 $I$（在维度兼容的情况下）， $A$ 保持不变。也就是说，$AI = A$ 且 $IA = A$。这一性质对于理解如何“撤销”矩阵乘法很重要，就像除法或倒数撤销普通数字的乘法一样。

考虑一个简单的代数方程，比如 $5x = 10$。要找出 $x$，你可以将两边都除以 5，或者等效地，将两边都乘以 5 的倒数，即 $1/5$ 或 $5^{-1}$。 $(5^{-1}) \times 5x = (5^{-1}) \times 10$ $1 \times x = 2$ $x = 2$ 通过乘以倒数 $5^{-1}$，有效地分离了 $x$，将系数 $5$ 变成了 $1$。

我们能否为矩阵找到一个类似的思想？如果我们有矩阵方程 $Ax = b$，我们能否找到一个表现得像 $A$ 的“倒数”或“逆”的矩阵？如果这样的矩阵存在，我们就可以将方程的两边都乘以它，从而可能分离出向量 $x$。

这引出了矩阵逆的定义。对于一个方阵 $A$（即它有相同数量的行和列，例如 $n \times n$），它的逆，记作 $A^{-1}$，是另一个 $n \times n$ 矩阵，使得当它与 $A$ 相乘时（无论哪个顺序），结果是 $n \times n$ 单位矩阵 $I$。

形式上，如果 $A$ 是一个 $n \times n$ 方阵，它的逆 $A^{-1}$ 是一个满足以下条件的 $n \times n$ 矩阵： $AA^{-1} = I \quad \text{并且} \quad A^{-1}A = I$

矩阵逆的性质

1. 必须是方阵： 只有方阵才能有逆。如果一个矩阵不是方阵（例如，$3 \times 2$），它就没有这个意义上的逆。思考一下原因：为了使 $AA^{-1}$ 和 $A^{-1}A$ 都被定义并且等于同一个方单位矩阵，$A$ 和 $A^{-1}$ 都必须是具有相同维度的方阵。
2. 存在性不保证： 并非每个方阵都有逆。确实有逆的方阵被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。没有逆的方阵被称为不可逆矩阵或奇异矩阵。我们将在下一节中了解可逆性的条件。
3. 唯一性： 如果矩阵 $A$ 确实有逆，那么这个逆（$A^{-1}$）是唯一的。只有一个矩阵满足该定义。
4. 逆的逆： 如果 $A$ 可逆，那么它的逆 $A^{-1}$ 也可逆，并且它的逆是原始矩阵 $A$。 $(A^{-1})^{-1} = A$
5. 乘积的逆： 如果 $A$ 和 $B$ 都是相同大小的可逆方阵，那么它们的乘积 $AB$ 也可逆。乘积的逆是其逆矩阵的乘积，但顺序相反： $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 顺序反转很重要，因为矩阵乘法通常不满足交换律（$AB \neq BA$）。

为什么逆对 $Ax = b$ 有用？

矩阵逆的思想为我们提供了一种求解系统 $Ax = b$ 的方法。如果 $A$ 可逆，我们可以将方程的两边从左侧乘以 $A^{-1}$： $A^{-1}(Ax) = A^{-1}b$ 使用矩阵乘法的结合律： $(A^{-1}A)x = A^{-1}b$ 因为 $A^{-1}A = I$（单位矩阵）： $Ix = A^{-1}b$ 而且因为单位矩阵 $I$ 乘以任何向量 $x$ 都等于 $x$： $x = A^{-1}b$ 这看起来是找出解向量 $x$ 的直接方法：只需找到 $A$ 的逆，然后将其乘以向量 $b$。

虽然这在数学上是正确的，并提供了一个清晰的代数解法，但在实践中，仅仅为了计算 $x = A^{-1}b$ 而明确计算逆 $A^{-1}$ 通常不是求解方程组最高效或数值最稳定的方法，特别是对于大型矩阵。像 NumPy 这样的库通常使用更有效率的算法（我们很快会看到）。然而，理解逆对于掌握线性系统和矩阵运算的性质极为重要。

在我们开始用 NumPy 计算逆之前，我们需要了解矩阵何时才真正拥有逆。什么使得一个方阵可逆或奇异？这就是我们接下来要介绍的内容。