单位矩阵再论

数字1在普通乘法中作为乘法单位元。如果将任何数字乘以1，结果仍是该数字。例如，$5 \times 1 = 5$ 和 $1 \times (-3) = -3$。这个属性使得数字1成为标量乘法的乘法单位元。

线性代数中，矩阵乘法也有类似思想。有一个特殊的矩阵，它的行为与数字1相似。当你用这个特殊矩阵乘以另一个矩阵时，原矩阵保持不变。这个特殊矩阵被称为单位矩阵，通常用$I$表示。

什么是单位矩阵？

单位矩阵$I$始终是一个方阵，这意味着它的行数和列数相等。它有非常明确的结构：

• 它的主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素是1。
• 主对角线之外的所有其他元素都是0。

以下是一些例子：

$2 \times 2$单位矩阵，有时写作$I_2$：

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$3 \times 3$单位矩阵，$I_3$：

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

更大的方阵以此类推。下标（如$I_2$中的'2'）表示方阵的大小（$n \times n$）。通常，大小可以从矩阵乘法的背景中清楚看出，因此我们可能只写$I$。

矩阵乘法中的单位元性质

单位矩阵$I$的基本性质是，对于任何矩阵$A$，只要乘法有定义（即维度兼容），以下关系成立：

$$AI = A$$

且

$$IA = A$$

让我们看一个简单例子。考虑矩阵$A$：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$

现在，将$A$乘以$2 \times 2$单位矩阵$I_2$：

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

如果我们逐步进行矩阵乘法：

• 左上角元素：$(2 \times 1) + (3 \times 0) = 2 + 0 = 2$
• 右上角元素：$(2 \times 0) + (3 \times 1) = 0 + 3 = 3$
• 左下角元素：$(4 \times 1) + (5 \times 0) = 4 + 0 = 4$
• 右下角元素：$(4 \times 0) + (5 \times 1) = 0 + 5 = 5$

结果矩阵是：

$$AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = A$$

你可以按另一种顺序进行乘法，$I_2A$，并验证结果也是$A$。单位矩阵$I$在矩阵乘法中作为中性元素，非常类似于数字1在标量乘法中的作用。

为什么这对于解$Ax = b$很重要

让我们回顾一个简单的标量方程，例如$5x = 10$。你如何求解$x$？你将方程两边乘以5的乘法逆元（或倒数），即$1/5$：

$$(1/5) \times 5x = (1/5) \times 10$$

这会简化，因为$(1/5) \times 5 = 1$：

$$1x = 2$$

且由于$1x$就是$x$：

$$x = 2$$

重要的步骤是乘以逆元$(1/5)$，使$x$的系数变为1（乘法单位元），从而分离出$x$。

当我们希望解$Ax = b$形式的矩阵方程时，单位矩阵$I$也扮演类似的角色。目标通常是分离出向量 (vector)$x$。如果我们能找到一个特殊的矩阵，我们称之为$A^{-1}$（读作“A逆”），它具有$A^{-1}A = I$的性质，那么我们就可以将方程$Ax = b$两边乘以这个$A^{-1}$矩阵（从左侧）：

$$A^{-1}(Ax) = A^{-1}b$$

利用矩阵乘法的结合律，我们可以重新组合左侧：

$$(A^{-1}A)x = A^{-1}b$$

现在，由于我们选择了$A^{-1}$，使得$A^{-1}A = I$：

$$Ix = A^{-1}b$$

最后，就像$1x = x$一样，将单位矩阵$I$乘以向量$x$会使向量保持不变（$Ix = x$）：

$$x = A^{-1}b$$

这种代数操作表明，如果我们能找到这个“逆”矩阵$A^{-1}$，我们就有办法找到解向量$x$。单位矩阵$I$是这个原理的依据，它表示原矩阵$A$的作用已被抵消，从而使$x$被分离。我们将在下一节讨论这个逆矩阵$A^{-1}$。

在NumPy中创建单位矩阵

NumPy通过numpy.eye(n)函数使得创建单位矩阵变得简单直接，该函数会生成一个$n \times n$的单位矩阵。

import numpy as np

# 创建一个2x2单位矩阵
I2 = np.eye(2)
print("2x2 单位矩阵:")
print(I2)

# 创建一个4x4单位矩阵
I4 = np.eye(4)
print("\n4x4 单位矩阵:")
print(I4)

# 创建一个整数类型的3x3单位矩阵
I3_int = np.eye(3, dtype=int)
print("\n3x3 整数单位矩阵:")
print(I3_int)

执行这段代码将输出：

2x2 单位矩阵:
[[1. 0.]
 [0. 1.]]

4x4 单位矩阵:
[[1. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]]

3x3 整数单位矩阵:
[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

请注意，NumPy默认通常使用浮点数（例如1.和0.）。如果你需要特定地使用整数或其他类型，可以通过dtype参数 (parameter)指定数据类型，如第三个例子所示。

了解了单位矩阵及其类似于数字1的作用后，我们就可以讨论矩阵逆$A^{-1}$，以及它如何帮助解决线性方程组。