解的含义

一个线性方程组（例如寻找满足多个条件的 $x_1$ 和 $x_2$ 的值）可以简洁地表示为矩阵方程 $Ax = b$。在此式中，$A$ 是系数矩阵，$x$ 是我们希望得到的未知变量向量 (vector)，$b$ 是等式右侧的常数向量。

那么，"解" 这个方程 $Ax = b$ 究竟是什么意思呢？

回顾简单的代数。如果你有一个方程 $5x = 10$，解它就是找到使这个式子成立的变量 $x$ 的值。在这个例子中，$x=2$ 是解，因为 $5 \times 2 = 10$。

这个道理对于矩阵方程来说非常相似，但现在我们寻找的是一个 向量 $x$，而不仅仅是一个数字。方程组 $Ax = b$ 的一个解是一个特定的向量 $x$，它的分量（例如 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 这样的单个值）同时满足矩阵方程中体现的所有线性方程。当你进行矩阵乘法 $Ax$ 时，结果必须正好等于向量 $b$。

我们来看一个具体例子。假设我们有以下包含两个未知量的两个线性方程组：

$2x_1 + 3x_2 = 8$ $x_1 + x_2 = 3$

我们可以将其写成矩阵形式 $Ax = b$ 如下：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \end{bmatrix}$$

因此，矩阵方程是：

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \end{bmatrix}$$

现在，我们提出一个可能的解：$x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$。这是唯一的解吗？为了验证，我们将这个向量 $x$ 代回方程的左侧 ($Ax$) 并进行矩阵乘法：

$$Ax = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 1) + (3 \times 2) \\ (1 \times 1) + (1 \times 2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 6 \\ 1 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \end{bmatrix}$$

看这个结果！我们计算出的向量 $\begin{bmatrix} 8 \\ 3 \end{bmatrix}$ 正是原始方程中的向量 $b$。由于将 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 代入 $Ax$ 得到了 $b$，我们可以确认 $x = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (即 $x_1=1$ 且 $x_2=2$) 确实是这个方程组的一个解。

从几何角度看，对于一个包含两个变量的方程组，每个线性方程在二维平面上代表一条直线。方程组的解就是这些直线的交点。我们的解 $(x_1=1, x_2=2)$ 对应于直线 $2x_1 + 3x_2 = 8$ 和 $x_1 + x_2 = 3$ 相交的坐标 $(1, 2)$。

解 $(1, 2)$ 是表示这些方程的两条直线的交点。

值得注意的是，并非所有线性方程组都像这个例子一样具有单个、唯一的解。有时，可能存在以下情况：

• 无解：想象两条永不相交的平行线。如果方程之间存在矛盾，就会出现这种情况。
• 无数解：想象两个方程实际上表示同一条直线。该直线上的任何点都是解。

这些情况与矩阵 $A$ 的特定性质有关。在我们的大部分工作中，特别是在使用矩阵逆等方法（我们将在下文讨论）时，我们关注的是恰好有一个唯一解的方程组。

因此，"解的含义" 归结为找到那个特定的向量 $x$，当它与矩阵 $A$ 相乘时，会得到向量 $b$。接下来的章节将介绍找到这个向量 $x$ 的方法，从矩阵逆的思路开始。