使用NumPy计算逆矩阵

矩阵逆（$A^{-1}$）在求解 $Ax = b$ 形式的线性方程组中具有理论作用。这里展示了如何使用NumPy计算逆矩阵。尽管在实际中，直接计算逆矩阵通常不是求解方程组的首选方法，但知道如何计算它是一项基本技能。

numpy.linalg 模块

NumPy作为Python数值计算的主要库，包含一个专门用于线性代数运算的子模块：numpy.linalg。该模块包含用于矩阵分解、特征值计算、求解线性系统以及（对我们目前来说很重要）计算矩阵逆的函数。

使用 inv() 计算逆矩阵

要计算方阵的逆矩阵，我们使用 numpy.linalg.inv() 函数。它接受一个方阵（以NumPy数组表示）作为输入，并返回其逆矩阵，同样以NumPy数组形式。

请记住，只有方阵才有逆矩阵，并且即使是方阵，也只有当它们是非奇异的（可逆的）时才有逆矩阵。

让我们看一个例子。考虑以下 2x2 矩阵 $A$：

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$

我们可以在NumPy中表示这个矩阵并计算其逆矩阵：

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([[4, 7],
              [2, 6]])

print("矩阵 A:")
print(A)

# 计算 A 的逆矩阵
try:
    A_inv = np.linalg.inv(A)
    print("\nA 的逆矩阵 (A_inv):")
    print(A_inv)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print(f"\n无法计算逆矩阵: {e}")

执行这段代码将输出原始矩阵 $A$ 及其计算出的逆矩阵 $A_{inv}$。

验证逆矩阵

矩阵逆 $A^{-1}$ 的一个规定性质是，当它与原始矩阵 $A$ 相乘时，会得到单位矩阵 $I$。即：

$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$

我们可以使用NumPy的矩阵乘法功能来验证这一点。请记住，@ 运算符执行矩阵乘法（或者您可以使用 np.dot()）：

# 验证 A * A_inv
identity_check_1 = A @ A_inv
print("\n验证 (A @ A_inv):")
print(identity_check_1)

# 验证 A_inv * A
identity_check_2 = A_inv @ A
print("\n验证 (A_inv @ A):")
print(identity_check_2)

# 创建预期中的单位矩阵
I = np.identity(A.shape[0]) # A.shape[0] 给出行数（此处为 2）
print("\n单位矩阵 I:")
print(I)

您应该会看到 identity_check_1 和 identity_check_2 都产生一个与 2x2 单位矩阵非常接近的矩阵：

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

关于浮点精度的一点说明

您可能会注意到，结果矩阵并非完全是单位矩阵。代替完美的零，您可能会看到非常小的数字，例如 2.22044605e-16（即 $2.22 \times 10^{-16}$）。这是计算机处理非整数计算（称为浮点运算）的正常结果。这些微小的差异通常可以忽略不计。

如果您需要以编程方式检查两个矩阵是否在一定容差范围内相等，NumPy 提供了 np.allclose() 函数：

# 检查 A @ A_inv 是否接近单位矩阵 I
are_close = np.allclose(A @ A_inv, np.identity(A.shape[0]))
print(f"\nA @ A_inv 在数值上是否接近 I？ {are_close}") # 输出应为 True

不可逆矩阵怎么办？

如果我们尝试计算一个没有逆矩阵（即奇异矩阵）的矩阵的逆，会发生什么？让我们尝试一个矩阵，其中一列是另一列的倍数，从而使其成为奇异矩阵：

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$

# 定义一个奇异矩阵 B
B = np.array([[1, 2],
              [2, 4]])

print("\n矩阵 B (奇异):")
print(B)

# 尝试计算 B 的逆矩阵
try:
    B_inv = np.linalg.inv(B)
    print("\nB 的逆矩阵:")
    print(B_inv)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print(f"\n无法计算 B 的逆矩阵: {e}")

当您运行这段代码时，NumPy 将检测到该矩阵是奇异矩阵，并引发 LinAlgError: Singular matrix 错误。这是NumPy告诉您给定矩阵 B 没有逆矩阵的方式。这种行为正确对应了“可逆条件”部分中讨论的数学性质。

计算逆矩阵是一项基本操作，np.linalg.inv() 提供了一种直接的方法来完成它。然而，请记住，对于求解方程组 $Ax=b$，直接使用逆矩阵（$x = A^{-1}b$）有时在数值上不如使用专门的求解器稳定和高效，我们将在下一节中讨论这些求解器。