矩阵乘法的性质

既然你已明白如何进行矩阵乘法，接下来我们看看这种运算的一些重要特点。与普通数字（标量）的乘法不同，矩阵乘法有一些独有的行为，你需要在处理机器学习 (machine learning)公式时加以注意。

矩阵乘法通常不满足交换律

这可能是与标量乘法最主要的区别。对于标量 $a$ 和 $b$，我们知道 $ab = ba$。然而，对于矩阵 $A$ 和 $B$，通常情况下 $AB = BA$ 不成立。

这主要有两个原因：

1. 维度不匹配： 如果矩阵 $A$ 的维度是 $m \times n$，矩阵 $B$ 的维度是 $n \times p$，那么乘积 $AB$ 是有定义的，并且维度是 $m \times p$。然而，乘积 $BA$（维度为 $n \times p$ 的矩阵乘以维度为 $m \times n$ 的矩阵）只有在 $p = m$ 时才有定义。即使 $BA$ 有定义，它的维度也将是 $n \times n$，只有当 $m=n=p$ 时（即两者都是相同大小的方阵），其维度才与 $AB$ 的维度（$m \times p$）匹配。
2. 值不同： 即使 $AB$ 和 $BA$ 都有定义且维度相同（这意味着 $A$ 和 $B$ 是相同大小的方阵），所得的矩阵通常也是不同的。

我们用一个NumPy示例来说明：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

# 计算 AB
AB = np.dot(A, B)
print("矩阵 A:\n", A)
print("\n矩阵 B:\n", B)
print("\n乘积 AB:\n", AB)

# 计算 BA
BA = np.dot(B, A)
print("\n乘积 BA:\n", BA)

# 检查它们是否相等
are_equal = np.array_equal(AB, BA)
print("\nAB 和 BA 是否相等？", are_equal)

执行此代码将输出：

矩阵 A:
 [[1 2]
  [3 4]]

矩阵 B:
 [[5 6]
  [7 8]]

乘积 AB:
 [[19 22]
  [43 50]]

乘积 BA:
 [[23 34]
  [31 46]]

AB 和 BA 是否相等？ False

正如你所见，即使对于这些简单的2x2矩阵，$AB$ 和 $BA$ 也产生不同的结果。这种不满足交换律的特性是基本的。在矩阵方程中，务必注意乘法的顺序。

矩阵乘法满足结合律

虽然矩阵相乘时 哪些 矩阵的顺序很重要，但只要顺序不变，分组方式则不影响结果。对于兼容的矩阵 $A$、$B$ 和 $C$，结合律成立：

$$(AB)C = A(BC)$$

这意味着你可以先计算 $A$ 乘以 $B$，然后将结果乘以 $C$；或者你可以先计算 $B$ 乘以 $C$，然后用 $A$ 乘以该结果。最终得到的矩阵将是相同的。这一性质在计算和数学证明中大量使用，因为它允许在执行一系列矩阵乘法时有灵活的选择。

我们用NumPy来验证这一点：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2]])        # 形状 (1, 2)
B = np.array([[3, 4],
              [5, 6]])        # 形状 (2, 2)
C = np.array([[7],
              [8]])        # 形状 (2, 1)

# 计算 (AB)C
AB = np.dot(A, B)          # 形状 (1, 2)
ABC1 = np.dot(AB, C)       # 形状 (1, 1)
print("矩阵 A:\n", A)
print("\n矩阵 B:\n", B)
print("\n矩阵 C:\n", C)
print("\n(AB)C:\n", ABC1)

# 计算 A(BC)
BC = np.dot(B, C)          # 形状 (2, 1)
ABC2 = np.dot(A, BC)       # 形状 (1, 1)
print("\nA(BC):\n", ABC2)

# 检查它们是否相等
are_equal = np.array_equal(ABC1, ABC2)
print("\n(AB)C 和 A(BC) 是否相等？", are_equal)

输出结果证实了它们是相同的：

矩阵 A:
 [[1 2]]

矩阵 B:
 [[3 4]
  [5 6]]

矩阵 C:
 [[7]
  [8]]

(AB)C:
 [[131]]

A(BC):
 [[131]]

(AB)C 和 A(BC) 是否相等？ True

矩阵乘法满足分配律

矩阵乘法对矩阵加法和减法满足分配律，这与标量乘法类似。对于兼容的矩阵 $A$、$B$ 和 $C$：

• 左分配律：$A(B + C) = AB + AC$
• 右分配律：$(A + B)C = AC + BC$

请记住，矩阵加法要求矩阵具有相同的维度。此性质对于推导中展开和简化矩阵表达式非常重要。

乘法单位矩阵

正如数字1是标量乘法的单位元（$a \times 1 = 1 \times a = a$）一样，矩阵乘法也存在一个单位矩阵，记作 $I$。单位矩阵 $I$ 是一个方阵，其主对角线上是1，其余位置都是0。

对于任意维度为 $m \times n$ 的矩阵 $A$，乘以适当的单位矩阵会使 $A$ 保持不变：

$$A I_n = A$$ $$I_m A = A$$

其中 $I_n$ 是 $n \times n$ 单位矩阵，$I_m$ 是 $m \times m$ 单位矩阵。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]]) # 形状 (2, 3)

# 用于右乘的单位矩阵 (3x3)
I_n = np.identity(3)
print("矩阵 A:
", A)
print("\n单位矩阵 I_n (3x3):
", I_n)
print("\nA * I_n:
", np.dot(A, I_n))

# 用于左乘的单位矩阵 (2x2)
I_m = np.identity(2)
print("\n单位矩阵 I_m (2x2):
", I_m)
print("\nI_m * A:
", np.dot(I_m, A))

The output will show that both A * I_n and I_m * A result in the original matrix A.

零矩阵的乘法性质

与标量乘法中 $a \times 0 = 0$ 类似，将任意矩阵 $A$ 乘以一个兼容的零矩阵（一个只包含零的矩阵，记作 $0$）会得到一个零矩阵：

$$A 0 = 0$$ $$0 A = 0$$

所得零矩阵的维度取决于矩阵 $A$ 和所用零矩阵的维度。

转置的性质

一个重要的性质将矩阵乘法与转置运算关联起来。对于兼容的矩阵 $A$ 和 $B$：

$$(AB)^T = B^T A^T$$

请注意，当转置应用于乘积时，顺序会颠倒。此性质在处理机器学习 (machine learning)中的优化问题和导数时经常出现。

与标量乘法的相互作用

标量乘法与矩阵乘法的相互作用是可预测的。对于标量 $c$ 和兼容的矩阵 $A$ 和 $B$：

$$c(AB) = (cA)B = A(cB)$$

你可以在进行矩阵乘法之前将标量与任一矩阵相乘，或者将矩阵乘法的结果乘以该标量。结果是相同的。

了解这些性质不仅对于正确执行计算很重要，而且对于处理机器学习 (machine learning)算法中遇到的矩阵方程也很重要，例如线性回归、主成分分析（PCA）和神经网络 (neural network)。它们构成了线性代数语言的语法规则。