动手实践：NumPy 矩阵运算

矩阵加法、减法、标量乘法、转置和矩阵乘法是线性代数的基础。使用NumPy执行这些基本矩阵运算非常直接。动手实践有助于增强理解，并为在机器学习 (machine learning)环境中的应用做好准备。

设置

首先，请确保你已导入NumPy。我们将使用标准别名 np。我们还将定义一些矩阵，以便在这些例子中使用。

import numpy as np

# 定义矩阵A和B
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

B = np.array([[7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

# 定义用于乘法示例的矩阵C
C = np.array([[1, 0],
              [0, 1],
              [1, 1]])

print("矩阵A:")
print(A)
print("\n矩阵B:")
print(B)
print("\n矩阵C:")
print(C)

你应该能看到我们初始矩阵的定义被打印出来。请注意，A 和 B 具有相同的维度（2x3），这对于加法和减法运算来说很重要。矩阵 C 的维度是 3x2。

矩阵加法和减法

在NumPy中，矩阵的加法或减法就像使用标准的 + 和 - 运算符一样简单。NumPy会自动处理逐元素的运算。

# 矩阵加法 (A + B)
matrix_sum = A + B
print("矩阵和 (A + B):")
print(matrix_sum)

# 矩阵减法 (A - B)
matrix_diff = A - B
print("\n矩阵差 (A - B):")
print(matrix_diff)

结果:

矩阵和 (A + B):
[[ 8 10 12]
 [14 16 18]]

矩阵差 (A - B):
[[-6 -6 -6]
 [-6 -6 -6]]

请记住，矩阵加法和减法要求矩阵具有完全相同的维度。如果你尝试对维度不匹配的矩阵进行加法或减法运算，NumPy 将会引发 ValueError 错误。

标量乘法

将矩阵乘以标量（一个单独的数字）也非常直接。使用标准的 * 运算符。NumPy会将矩阵中的每个元素都乘以该标量。

# 标量乘法 (3 * A)
scalar = 3
scaled_matrix = scalar * A
print(f"标量乘法 ({scalar} * A):")
print(scaled_matrix)

结果:

标量乘法 (3 * A):
[[ 3  6  9]
 [12 15 18]]

矩阵 A 中的每个元素都已乘以 3。

矩阵转置

要转置矩阵（交换其行和列），你可以使用 .T 属性或 np.transpose() 函数。

# 使用 .T 进行矩阵转置
transpose_A = A.T
print("A的转置 (使用 .T):")
print(transpose_A)
print("\nA的形状:", A.shape)
print("A.T的形状:", transpose_A.shape)

# 使用 np.transpose() 进行矩阵转置
transpose_B = np.transpose(B)
print("\nB的转置 (使用 np.transpose()):")
print(transpose_B)
print("\nB的形状:", B.shape)
print("B.T的形状:", transpose_B.shape)

结果:

A的转置 (使用 .T):
[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]

A的形状: (2, 3)
A.T的形状: (3, 2)

B的转置 (使用 np.transpose()):
[[ 7 10]
 [ 8 11]
 [ 9 12]]

B的形状: (2, 3)
B.T的形状: (3, 2)

正如预期，2x3 矩阵 A 和 B 在转置后变为 3x2 矩阵。

矩阵乘法（点积）

这是线性代数和机器学习 (machine learning)中的一个基本运算。请记住，矩阵乘法不是逐元素乘法（逐元素乘法使用 * 运算符）。对于真正的矩阵乘积（点积），请使用 @ 运算符或 np.dot() 函数。

@ 运算符是在 Python 3.5 中引入的，通常因其在矩阵乘法上的清晰性而更受青睐。

我们来将矩阵 A (2x3) 乘以矩阵 C (3x2)。内部维度匹配（3 和 3），因此乘法有效。结果矩阵的维度将是 2x2。

# 使用 @ 进行矩阵乘法
product_AC = A @ C
print("矩阵乘积 (A @ C):")
print(product_AC)
print("\nA的形状:", A.shape)
print("C的形状:", C.shape)
print("A @ C的形状:", product_AC.shape)

# 使用 np.dot() 进行矩阵乘法
product_AC_dot = np.dot(A, C)
print("\n矩阵乘积 (np.dot(A, C)):")
print(product_AC_dot)

结果:

矩阵乘积 (A @ C):
[[ 4  3]
 [10  6]]

A的形状: (2, 3)
C的形状: (3, 2)
A @ C的形状: (2, 2)

矩阵乘积 (np.dot(A, C)):
[[ 4  3]
 [10  6]]

两种方法都得到了相同的 2x2 结果。

如果维度不兼容会怎样？我们来尝试将 A (2x3) 乘以 B (2x3)。内部维度（3 和 2）不匹配。

# 尝试不兼容的乘法 (A @ B)
try:
    incompatible_product = A @ B
    print(incompatible_product)
except ValueError as e:
    print("\n不兼容乘法 (A @ B) 时的错误:")
    print(e)

结果:

不兼容乘法 (A @ B) 时的错误:
matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 3)

NumPy 正确地引发了 ValueError 错误，表示维度不匹配阻止了乘法运算。

请记住，矩阵乘法通常不具备交换律。我们来计算 $C \times A$ （维度 3x2 和 2x3 兼容，结果是 3x3）并与 $A \times C$（它是 2x2）进行比较。

# 计算 C @ A (维度 3x2 @ 2x3 -> 3x3)
product_CA = C @ A
print("\n矩阵乘积 (C @ A):")
print(product_CA)
print("\nC @ A的形状:", product_CA.shape)

print("\nA @ C == C @ A 吗？", "由于形状不同，不适用。")

结果:

矩阵乘积 (C @ A):
[[ 1  2  3]
 [ 4  5  6]
 [ 5  7  9]]

C @ A的形状: (3, 3)

A @ C == C @ A 吗？ 由于形状不同，不适用。

显然，$A \times C$ 和 $C \times A$ 是不同的。即使形状允许两种乘法运算并得到相同大小的矩阵，结果通常也是不同的。

运算总结

以下是我们已实践过的 NumPy 运算的快速参考：

• 加法: matrix1 + matrix2
• 减法: matrix1 - matrix2
• 标量乘法: scalar * matrix
• 转置: matrix.T 或 np.transpose(matrix)
• 矩阵乘法: matrix1 @ matrix2 或 np.dot(matrix1, matrix2)

这些基本运算构成了机器学习 (machine learning)算法中许多计算的组成部分。多加练习，直到你熟练掌握。当你处理以矩阵形式表示的数据时，你会经常使用它们。