标量乘法

正如我们可以通过将向量 (vector)乘以一个数字（标量）来缩放它们一样，我们也可以对矩阵进行相同的操作。矩阵的标量乘法涉及取一个数字（标量），然后用该数字乘以矩阵中的每个元素。这个操作会均匀地缩放整个矩阵。

假设你有一个矩阵，它可能代表灰度图像的像素强度。将这个矩阵乘以标量2，会使得每个像素的强度加倍，从而使图像整体更亮。

定义与表示

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$c$ 是一个标量（实数）。$A$ 与 $c$ 的标量乘法，表示为 $c A$，会得到一个新的 $m \times n$ 矩阵，我们称之为 $B$。结果矩阵 $B$ 的每个元素 $B_{ij}$，是通过将原始矩阵 $A$ 的对应元素 $A_{ij}$ 乘以标量 $c$ 得到的。

数学上，如果 $B = c A$，那么： $B_{ij} = c \cdot A_{ij}$ 对于所有有效的行索引 $i$ 和列索引 $j$。

在标量乘法过程中，矩阵的维度不会改变。如果 $A$ 是 $m \times n$，那么 $c A$ 也是 $m \times n$。

计算示例

让我们取标量 $c = 3$ 和一个 $2 \times 3$ 矩阵 $A$： $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

要计算 $3 A$，我们将 $A$ 的每个元素乘以 3： $3 A = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 3 \times 1 & 3 \times 0 & 3 \times (-2) \\ 3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 3 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 3 & 0 & -6 \\ 12 & 15 & 9 \end{pmatrix}$ 结果矩阵与原始矩阵 $A$ 具有相同的维度（$2 \times 3$）。

在 Python 中使用 NumPy 进行标量乘法

使用 NumPy 进行标量乘法很简单。NumPy 数组重载了标准的乘法运算符 *，当其中一个操作数是标量时，用于执行逐元素操作。

以下是使用 NumPy 执行前面示例的方法：

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([
    [1, 0, -2],
    [4, 5, 3]
])

# 定义标量 c
c = 3

# 执行标量乘法
B = c * A

# 打印原始矩阵和结果
print("原始矩阵 A:\n", A)
print("\n标量 c:", c)
print("\n标量乘法的结果 (c * A):\n", B)

输出：

Original Matrix A:
 [[ 1  0 -2]
 [ 4  5  3]]

Scalar c: 3

Result of Scalar Multiplication (c * A):
 [[ 3  0 -6]
 [12 15  9]]

如你所见，NumPy 能够高效地处理逐元素乘法。这种简单性是 NumPy 在 Python 数值计算中被广泛应用的原因之一。

标量乘法的性质

标量乘法与其他矩阵运算（如加法）的相互作用是可预测的。例如，标量乘法对矩阵加法满足分配律。如果 $A$ 和 $B$ 是相同维度的矩阵，$c$ 是一个标量，那么： $c (A + B) = c A + c B$ 此外，如果 $c$ 和 $d$ 是标量： $(c + d) A = c A + d A$ $c (d A) = (cd) A$

这些性质在处理涉及矩阵和标量的代数表达式时很有用。

标量乘法是一种基本工具，用于缩放以矩阵形式表示的数据，这是机器学习 (machine learning)算法数据预处理步骤中的常见要求。