矩阵加法和减法

就像你可以对单个数字进行加减一样，你也可以对矩阵进行类似操作。矩阵加法和减法是核心运算，它们是逐元素进行的。你可以将其看作是组合或比较两个结构完全相同的数据集（以矩阵形式表示）。

规则：维度匹配

在对两个矩阵进行加减运算之前，它们必须满足一个重要条件：它们必须具有完全相同的维度。这意味着它们必须具有相同的行数和列数。

与加减单个数字类似，你可以对矩阵执行类似操作。矩阵加减法是逐元素进行的基础运算。当组合或比较两个形状完全相同的数据集（表示为矩阵）时，会用到此操作。例如，你可以将一个 $2 \times 3$ 矩阵与另一个 $2 \times 3$ 矩阵相加。但是，你不能将一个 $2 \times 3$ 矩阵与一个 $3 \times 2$ 矩阵相加，也不能将一个 $2 \times 2$ 矩阵与一个 $2 \times 3$ 矩阵相加。如果形状不匹配，则该运算是未定义的。

考虑以下矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 9 & 10 & 11 \\ 12 & 13 & 14 \end{bmatrix}$$

你可以计算 $A + B$，因为它们都是 $2 \times 2$ 矩阵。 你不能计算 $A + C$，因为 $A$ 是 $2 \times 2$ 而 $C$ 是 $2 \times 3$。它们的维度不同。

执行加法运算

矩阵加法涉及将两个矩阵的对应元素相加。如果你有两个具有相同维度的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和 $C = A + B$ 是一个矩阵，其中每个元素 $C_{ij}$ 是元素 $A_{ij}$ 和 $B_{ij}$ 的和。

数学上，这被定义为：

$$C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$$

让我们将前面例子中的矩阵 $A$ 和 $B$ 相加：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

它们的和 $C = A + B$ 计算如下：

$$C = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

结果矩阵 $C$ 中的每个元素只是矩阵 $A$ 和 $B$ 中相同位置元素的和。

执行减法运算

矩阵减法遵循与加法相同的原则：你减去对应元素。同样，矩阵必须具有完全相同的维度。

如果 $D = A - B$，那么每个元素 $D_{ij}$ 的计算方式如下：

$$D_{ij} = A_{ij} - B_{ij}$$

使用相同的矩阵 $A$ 和 $B$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

它们的差 $D = A - B$ 是：

$$D = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}$$

注意，与普通数字减法不同，矩阵减法 $A - B$ 通常与 $B - A$ 不同。

矩阵加法的性质

矩阵加法与标量加法具有一些熟悉的性质：

• 交换律： $A + B = B + A$
• 结合律： $(A + B) + C = A + (B + C)$

减法与标量减法一样，不满足交换律（除非 $A=B$，否则 $A - B \neq B - A$）也不满足结合律。

NumPy实现

NumPy 使用标准的 + 和 - 运算符使得矩阵加法和减法变得简单。只要数组形状（维度）兼容，NumPy 就会自动执行逐元素运算。

首先，让我们将示例矩阵 $A$ 和 $B$ 创建为 NumPy 数组：

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

# 定义矩阵 B
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

print("矩阵 A:\n", A)
print("矩阵 B:\n", B)

现在，让我们将它们相加：

# 矩阵 A 和 B 相加
C = A + B

print("矩阵 C (A + B):\n", C)

这将输出：

Matrix C (A + B):
 [[ 6  8]
 [10 12]]

同样，对于减法：

# 矩阵 A 减去矩阵 B
D = A - B

print("矩阵 D (A - B):\n", D)

这将输出：

Matrix D (A - B):
 [[-4 -4]
 [-4 -4]]

处理不兼容的维度

如果你尝试使用 NumPy 对形状不兼容的矩阵进行加减运算会怎样？让我们尝试将我们的 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 与一个 $2 \times 3$ 矩阵 $C$ 相加：

# 定义矩阵 C (不同形状)
C_incompatible = np.array([[9, 10, 11],
                           [12, 13, 14]])

print("矩阵 A:\n", A)
print("矩阵 C_incompatible:\n", C_incompatible)

try:
    result = A + C_incompatible
except ValueError as e:
    print("\n添加 A 和 C_incompatible 时出错:", e)

NumPy 会引发 ValueError，因为形状不匹配，无法进行逐元素加法：

Matrix A:
 [[1 2]
 [3 4]]
Matrix C_incompatible:
 [[ 9 10 11]
 [12 13 14]]

Error adding A and C_incompatible: operands could not be broadcast together with shapes (2,2) (2,3)

The term "broadcast" refers to a more advanced NumPy功能，用于根据特定规则处理不同形状的数组，但对于基本的矩阵加法和减法，形状必须完全匹配。

矩阵加法和减法相对简单，但它们是后续复杂运算的起点。它们可能出现在组合或比较数据集，或在某些机器学习 (machine learning)计算中生成中间结果时。