什么是矩阵？

让我们进一步说明在章节概述中谈到的内容。我们已经看到，向量 (vector)是有序的数字列表。现在，想象一下不仅将数字排成列表，而是排列成矩形网格，就像电子表格或棋盘一样。这基本上就是矩阵。

一个矩阵（复数：matrices）是数字、符号或表达式的矩形排列或表格，它们以行（水平线）和列（垂直线）的方式排列。它们是线性代数中的基本工具，并在机器学习 (machine learning)中常用于组织数据、表示变换等方面。

矩阵的结构：行、列和元素

可以将矩阵看作是整齐排列的数字集合。例如，请看这个矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 \\ -3 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

这个矩阵有：

• 行： 三条水平的数字线。
  • 第1行： [1 0 7]
  • 第2行： [-3 4 -2]
  • 第3行： [5 2 0]
• 列： 三条垂直的数字线。
  • 第1列： [1 -3 5]ᵀ （T表示转置，通常用于水平书写列向量 (vector)）
  • 第2列： [0 4 2]ᵀ
  • 第3列： [7 -2 0]ᵀ
• 元素（或项）： 矩阵中的单个数字。这个矩阵有 $3 \times 3 = 9$ 个元素。

矩阵的维度或大小由行数和列数给出，通常写为“行数 $\times$ 列数”。上面的矩阵 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵（读作“三乘三”）。

这里是另一个例子：

$$B = \begin{bmatrix} 2.1 & -0.5 \\ 1.0 & 3.7 \\ 0 & 1.1 \\ 4.2 & 0 \end{bmatrix}$$

这个矩阵 $B$ 有4行2列，所以它是一个 $4 \times 2$ 矩阵。

矩阵与向量 (vector)的联系

你可以将向量（我们在上一章讨论过）视为矩阵的特殊情况：

• 列向量是只有一列的矩阵（一个 $m \times 1$ 矩阵）。 $$\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{bmatrix} \quad \text{（这是一个 } 3 \times 1 \text{ 矩阵）}$$
• 行向量是只有一行的矩阵（一个 $1 \times n$ 矩阵）。 $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 \end{bmatrix} \quad \text{（这是一个 } 1 \times 3 \text{ 矩阵）}$$

这种联系有助于理解向量和矩阵运算之间如何关联。

为什么使用矩阵？

矩阵提供了一种强大的方式来同时表示和操作数字集合。在机器学习 (machine learning)中，它们经常被使用：

• 数据集： 典型的数据集可以表示为一个矩阵，其中每行对应一个数据样本（例如客户或图像），每列对应一个特征（例如年龄、价格或像素强度）。
• 图像： 灰度图像可以表示为一个矩阵，其中每个元素都是一个像素的强度。彩色图像通常使用多个矩阵（每个颜色通道一个：红、绿、蓝）。
• 线性变换： 矩阵可以表示几何对象（由向量 (vector)表示）的旋转、缩放和剪切等运算。
• 模型参数 (parameter)： 许多机器学习模型（如线性回归或神经网络 (neural network)）学习到的权重 (weight)和偏置 (bias)通常以矩阵形式存储和操作。

矩阵的结构化特性使我们能够定义一致的运算（如加法和乘法，我们很快会讲到），这些运算可以高效地应用于整个数据块。

通用矩阵的可视化

我们通常用大写字母（如 $A$、$B$、$C$）来表示矩阵。为了指代矩阵中的特定元素，我们使用带有两个下标的小写字母：$a_{ij}$。第一个下标 $i$ 指示行号，第二个下标 $j$ 指示列号。

因此，对于一个一般的 $m \times n$ 矩阵 $A$（意为 $m$ 行 $n$ 列），我们可以将其写成：

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

这里，$a_{21}$ 是第二行第一列的元素。$a_{mn}$ 是最后一行（$m$）和最后一列（$n$）的元素。

一个一般的 $m \times n$ 矩阵 $A$，显示位于第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a_{ij}$。

索引注意事项： 在数学中，矩阵索引通常从1开始（因此左上角的元素是 $a_{11}$）。然而，在许多编程语言中，包括 Python（及其我们将大量使用的NumPy库），索引从0开始。因此，数学中的元素 $a_{11}$ 对应于 NumPy 中的 A[0, 0]，而 $a_{ij}$ 对应于 A[i-1, j-1]。这是一个常见的易混淆之处，所以在将数学表示转换为代码时请记住这一点。

现在我们明白了矩阵是什么以及它的结构，接下来我们将研究如何更正式地表示矩阵维度，并查看一些主要的特殊类型矩阵。