矩阵类型：方阵、单位矩阵、零矩阵

现在我们已经了解了什么是矩阵——一个由行和列组成的矩形数字排列，接下来我们来看一些具有独特结构和性质的特定矩阵类型。认识这些特殊形式是有益的，因为它们在线性代数和机器学习 (machine learning)的计算和理论探讨中经常出现。

方阵

最直接的特殊类型是方阵。顾名思义，方阵是行数和列数相等的矩阵。如果一个矩阵 $A$ 有 $m$ 行和 $n$ 列（一个 $m \times n$ 矩阵），当 $m = n$ 时，它就是方阵。

例如，以下是几个方阵：

$2 \times 2$ 方阵:

$$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

$3 \times 3$ 方阵:

$$C = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

方阵很重要，因为许多重要的矩阵运算和原理，例如矩阵求逆和行列式（我们稍后会提及），主要都是针对它们定义的。

在NumPy中，方阵就是一个2D数组，其中第一维度（行数）等于第二维度（列数）。你可以使用.shape属性来检查这一点。

import numpy as np

B = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

print(f"矩阵 B:\n{B}")
print(f"B 的形状: {B.shape}") # 输出: B 的形状: (2, 2)
print(f"B 是方阵吗? {B.shape[0] == B.shape[1]}") # 输出: B 是方阵吗? True

C = np.array([[9, 8, 7],
              [6, 5, 4],
              [3, 2, 1]])

print(f"\n矩阵 C:\n{C}")
print(f"C 的形状: {C.shape}") # 输出: C 的形状: (3, 3)
print(f"C 是方阵吗? {C.shape[0] == C.shape[1]}") # 输出: C 是方阵吗? True

# 非方阵示例
D = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
print(f"\n矩阵 D:\n{D}")
print(f"D 的形状: {D.shape}") # 输出: D 的形状: (2, 3)
print(f"D 是方阵吗? {D.shape[0] == D.shape[1]}") # 输出: D 是方阵吗? False

单位矩阵 ($I$)

单位矩阵，通常记作 $I$ 或 $I_n$（其中 $n$ 表示大小），是一种特殊的方阵，它在普通乘法中扮演着类似于数字1的角色。

单位矩阵的主对角线（从左上角到右下角的对角线）上是1，其他位置都是0。

以下是 $2 \times 2$ 和 $3 \times 3$ 单位矩阵：

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

单位矩阵的主要性质是，当你用它乘以任何其他矩阵 $A$（维度兼容）时，结果仍然是 $A$。也就是说，$AI = A$ 且 $IA = A$。这一性质使其在矩阵代数中具有重要地位，尤其是在讨论矩阵逆时。

NumPy 提供了便捷的函数来创建单位矩阵：np.identity(n) 或 np.eye(n)。两者都能创建一个 $n \times n$ 的单位矩阵。

import numpy as np

# 创建一个 3x3 单位矩阵
I_3 = np.identity(3)
print(f"3x3 单位矩阵 (使用 np.identity):\n{I_3}")

# 使用 np.eye 创建一个 4x4 单位矩阵
I_4 = np.eye(4)
print(f"\n4x4 单位矩阵 (使用 np.eye):\n{I_4}")

零矩阵 ($O$)

零矩阵，常记作 $O$，是一个所有元素都为零的矩阵。与单位矩阵不同，零矩阵不必是方阵。它可以是任何维度（$m \times n$）的。

以下是一些示例：

$2 \times 3$ 零矩阵:

$$O_{2\times3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$3 \times 3$（方阵）零矩阵:

$$O_{3\times3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

零矩阵在标准算术中作用类似于数字0。将一个零矩阵加到另一个矩阵 $A$（相同维度）上时，会使 $A$ 保持不变（$A + O = A$）。将任何矩阵 $A$ 乘以一个零矩阵（维度兼容）都会得到一个零矩阵（$AO = O$，$OA = O$）。

在NumPy中，你可以使用 np.zeros() 函数轻松创建零矩阵，将所需形状指定为元组 (rows, columns)。

import numpy as np

# 创建一个 2x3 零矩阵
O_2x3 = np.zeros((2, 3))
print(f"2x3 零矩阵:\n{O_2x3}")

# 创建一个 3x3 零矩阵
O_3x3 = np.zeros((3, 3))
print(f"\n3x3 零矩阵:\n{O_3x3}")

了解这些矩阵类型——方阵、单位矩阵和零矩阵——为后续章节中学习更复杂的矩阵性质和运算提供了铺垫。在为机器学习 (machine learning)处理线性代数时，你会经常遇到这些主要结构。