实践：使用NumPy创建矩阵

零矩阵、单位矩阵和对角矩阵是矩阵的几种基本类型。使用NumPy创建这些矩阵非常直接简单。NumPy将矩阵表示为二维数组。

首先，请确保已导入NumPy，通常使用标准别名 np：

import numpy as np

创建基本矩阵

创建矩阵最基本的方法是利用Python的列表的列表。每个内部列表代表一行。

# 创建一个3x4矩阵（3行，4列）
my_list = [
    [1, 2, 3, 4],
    [5, 6, 7, 8],
    [9, 10, 11, 12]
]

matrix_a = np.array(my_list)

print("矩阵A（来自列表的列表）：")
print(matrix_a)
print("矩阵A的形状：", matrix_a.shape)
print("矩阵A的数据类型：", matrix_a.dtype)

运行此代码将输出：

矩阵A（来自列表的列表）：
[[ 1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]]
矩阵A的形状： (3, 4)
矩阵A的数据类型： int64

请注意NumPy是如何自动确定形状 (3, 4) 和数据类型（可能是 int64 或 int32，具体取决于您的系统）。

创建零矩阵

零矩阵，表示为 $O$，只包含零。它们常被用作初始占位符。NumPy提供了 np.zeros() 函数。您需要以元组（行数，列数）的形式提供所需的形状。

# 创建一个2x3零矩阵
rows = 2
cols = 3
zero_mat = np.zeros((rows, cols))

print("\n零矩阵 (2x3)：")
print(zero_mat)
print("形状：", zero_mat.shape)
print("数据类型：", zero_mat.dtype) # 默认为float64

输出：

零矩阵 (2x3)：
[[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]
形状： (2, 3)
数据类型： float64

默认情况下，np.zeros() 创建浮点数。如果您需要整数，请指定 dtype：

# 创建一个3x3的整数零矩阵
zero_mat_int = np.zeros((3, 3), dtype=int)

print("\n零矩阵 (3x3, 整数)：")
print(zero_mat_int)
print("数据类型：", zero_mat_int.dtype)

输出：

零矩阵 (3x3, 整数)：
[[0 0 0]
 [0 0 0]
 [0 0 0]]
数据类型： int64

创建单位矩阵

单位矩阵 $I$ 是一个方阵（行数和列数相同），其主对角线上是1，其余位置是0。它在矩阵乘法中作用如同数字1。NumPy为此提供了两个常用函数：np.identity() 和 np.eye()。

np.identity(n) 创建一个 $n \times n$ 的单位矩阵。

# 使用np.identity()创建一个4x4单位矩阵
identity_mat = np.identity(4)

print("\n单位矩阵 (4x4)，使用np.identity()：")
print(identity_mat)
print("形状：", identity_mat.shape)
print("数据类型：", identity_mat.dtype) # 默认为float64

输出：

单位矩阵 (4x4)，使用np.identity()：
[[1. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]]
形状： (4, 4)
数据类型： float64

np.eye(N, M=None, k=0) 更具通用性。它创建一个 $N \times M$ 矩阵（如果省略 $M$，则 $M=N$，创建方阵）。参数 (parameter) $k$ 指定对角线：$k=0$ 是主对角线（默认），$k>0$ 在主对角线上方，而 $k<0$ 在主对角线下方。对于标准单位矩阵，通常只需提供 $N$。

# 使用np.eye()创建一个3x3单位矩阵
identity_mat_eye = np.eye(3)

print("\n单位矩阵 (3x3)，使用np.eye()：")
print(identity_mat_eye)

# 创建一个3x5矩阵，主对角线上为1
eye_mat_rect = np.eye(3, 5)
print("\n矩形矩阵 (3x5)，使用np.eye()：")
print(eye_mat_rect)

# 创建一个4x4矩阵，主对角线上方对角线上为1 (k=1)
eye_mat_k1 = np.eye(4, k=1)
print("\n矩阵 (4x4)，使用np.eye(k=1)：")
print(eye_mat_k1)

输出：

单位矩阵 (3x3)，使用np.eye()：
[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

矩形矩阵 (3x5)，使用np.eye()：
[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]]

矩阵 (4x4)，使用np.eye(k=1)：
[[0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0.]]

对于创建标准单位矩阵，np.identity(n) 可能稍微更清晰，但 np.eye(n) 同样适用。

创建对角矩阵

对角矩阵只在主对角线上有非零元素。NumPy的 np.diag() 函数用途广泛。它可以从现有矩阵中提取对角线，或从一维数组（或列表）中构建一个方对角矩阵。

1. 构建对角矩阵： 如果您向 np.diag() 提供一个一维数组（例如向量 (vector)），它会创建一个方阵，其中数组的元素成为主对角线上的值。

# 定义对角线元素
diagonal_values = [2, 5, -1, 3]

# 从这些值创建对角矩阵
diag_mat = np.diag(diagonal_values)

print("\n由[2, 5, -1, 3]构建的对角矩阵：")
print(diag_mat)
print("形状：", diag_mat.shape)

输出：

由[2, 5, -1, 3]构建的对角矩阵：
[[ 2  0  0  0]
 [ 0  5  0  0]
 [ 0  0 -1  0]
 [ 0  0  0  3]]
形状： (4, 4)

2. 提取对角线： 如果您向 np.diag() 提供一个二维数组（一个矩阵），它会提取主对角线上的元素，并将其作为一维数组返回。

# 使用我们之前创建的matrix_a
print("\n原始矩阵A：")
print(matrix_a)

# 从matrix_a中提取主对角线
diagonal_extracted = np.diag(matrix_a)

print("\n从矩阵A中提取的对角线：")
print(diagonal_extracted)
print("形状：", diagonal_extracted.shape)

输出：

原始矩阵A：
[[ 1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]]

从矩阵A中提取的对角线：
[ 1  6 11]
形状： (3,)

请注意，提取的对角线只包含行索引等于列索引的元素（$a_{11}, a_{22}, a_{33}, ...$），直到矩阵的较小维度。

这些函数（np.array、np.zeros、np.identity、np.eye、np.diag）提供了创建您将经常遇到的矩阵的基本工具。尝试使用不同的形状和数据类型，以便熟练掌握它们的用法。这个基础对于执行矩阵运算非常重要，我们将在下一章中介绍。