对角矩阵和三角矩阵

方阵、单位矩阵和零矩阵等基本类型显现出在方阵中某些结构模式，这些模式在计算中特别有用。我们来看看对角矩阵和三角矩阵。

对角矩阵

对角矩阵是一种方阵，其主对角线 以外 的所有元素都为零。主对角线上的元素可以是任何值，包括零。

对角矩阵和三角矩阵是方阵的特定类型，它们具有独特的结构模式。这些模式能够简化线性代数中的大量计算和分析过程。理解这些特殊矩阵形式，有助于掌握高效方法，同时与在单位矩阵和零矩阵等基本矩阵中观察到的性质相呼应。

这是一个 $3 \times 3$ 的例子：

$$D = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

请注意，只有元素 $a_{11}$、$a_{22}$ 和 $a_{33}$（主对角线）可能不是零。我们之前见到的单位矩阵 $I$ 是对角矩阵的一种特殊情况，其所有对角线元素都恰好为1。

对角矩阵在计算上很方便。处理对角矩阵时，许多运算会大大简化。

使用NumPy创建对角矩阵

NumPy提供了方便的 np.diag() 函数。此函数有两种行为模式：

1. 如果你将一维数组（如列表或NumPy向量 (vector)）传递给 np.diag()，它会创建一个方阵，将这些元素放在主对角线上，其他位置为零。
2. 如果你将二维数组（一个矩阵）传递给 np.diag()，它会 提取 主对角线元素，并将其作为一维数组返回。

我们来看看如何创建一个对角矩阵：

import numpy as np

# 从对角线元素列表创建对角矩阵
diag_elements = [4, -1, 6]
D = np.diag(diag_elements)

print("对角线元素:", diag_elements)
print("结果对角矩阵 D:\n", D)

Output:

Diagonal elements: [4, -1, 6]
Resulting diagonal matrix D:
 [[ 4  0  0]
 [ 0 -1  0]
 [ 0  0  6]]

现在，我们从一个现有矩阵中提取对角线：

# 一个示例矩阵
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
])

# 提取主对角线
diagonal_of_A = np.diag(A)

print("原始矩阵 A:\n", A)
print("提取出的对角线:", diagonal_of_A)

Output:

Original matrix A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
Extracted diagonal: [1 5 9]

三角矩阵

三角矩阵是方阵，其所有零元素要么在主对角线上方，要么在主对角线下方。它们有两种类型：

上三角矩阵

上三角矩阵其所有非零元素都在主对角线上方或主对角线上。主对角线 下方 的所有元素都为零。形式上，对于矩阵 $U$，如果 $i > j$，则 $u_{ij} = 0$。

例子：

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

下三角矩阵

反之，下三角矩阵其所有非零元素都在主对角线下方或主对角线上。主对角线 上方 的所有元素都为零。形式上，对于矩阵 $L$，如果 $i < j$，则 $l_{ij} = 0$。

例子：

$$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

结构可视化

“上”和“下”的名称源于非零元素形成三角形的形状。

对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵的 $3 \times 3$ 结构。彩色单元格表示可能非零的元素；“0”表示必须为零的元素。

使用NumPy处理三角矩阵

NumPy提供了函数来从现有矩阵中提取这些三角部分：

• np.triu() (上三角)：返回矩阵的副本，其中主对角线下方元素置零。
• np.tril() (下三角)：返回矩阵的副本，其中主对角线上方元素置零。

# 使用之前的矩阵 A
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
])

# 获取上三角部分（包括对角线）
upper_A = np.triu(A)

# 获取下三角部分（包括对角线）
lower_A = np.tril(A)

print("原始矩阵 A:\n", A)
print("\n矩阵 A 的上三角部分：\n", upper_A)
print("\n矩阵 A 的下三角部分：\n", lower_A)

Output:

Original matrix A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

Upper triangular part of A:
 [[1 2 3]
 [0 5 6]
 [0 0 9]]

Lower triangular part of A:
 [[1 0 0]
 [4 5 0]
 [7 8 9]]

np.triu() 和 np.tril() 都可以接受一个可选的第二个参数 (parameter) k。如果 k=0（默认值），它使用主对角线。如果 k=1，它指的是主对角线上方的对角线；如果 k=-1，它指的是主对角线下方对角线，以此类推。这让您可以根据不同的对角线将元素置零。

对角矩阵和三角矩阵可能看起来是特例，但它们在线性代数算法中经常出现，尤其是在求解线性方程组时以及将矩阵分解为更简单组成部分（矩阵分解）的技术中。辨认这些结构对于理解更高级的矩阵运算很有帮助。