标量乘法

向量 (vector)的缩放是一个基本运算，它涉及将向量乘以一个数。这个数称为标量。标量在线性代数中就是一个普通数字（如 5、-2.7 或 $\pi$），与向量或矩阵不同。

标量乘法改变向量的大小（长度），如果标量为负，则改变其方向。这就像拉伸、收缩或翻转向量。

标量乘法的工作原理

要进行标量乘法，您需要将向量 (vector)的每个元素乘以标量值。

在数学上，如果您有一个标量 $c$ 和一个具有 $n$ 个元素的向量 $\mathbf{v}$：

$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$

那么标量乘法 $c\mathbf{v}$ 定义为：

$$c\mathbf{v} = c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \\ \vdots \\ c \cdot v_n \end{bmatrix}$$

原始向量 $\mathbf{v}$ 的每个分量都乘以标量 $c$。结果向量与原始向量维度相同。

几何意义

从几何角度看，将向量 (vector) $\mathbf{v}$ 乘以标量 $c$ 会得到一个新向量，如果 $c > 0$，则方向与 $\mathbf{v}$ 相同；如果 $c < 0$，则方向相反。新向量的长度是原始向量 $\mathbf{v}$ 长度的 $|c|$ 倍。如果 $c = 0$，结果是零向量（所有元素都为零的向量）。

考虑一个二维向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$。

• 如果我们将 $c=2$ 乘以向量，得到 $2\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}$。这个向量方向相同但长度是两倍。
• 如果我们将 $c=-1$ 乘以向量，得到 $-1\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \cdot 2 \\ -1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \end{bmatrix}$。这个向量长度相同但方向相反。
• 如果我们将 $c=0.5$ 乘以向量，得到 $0.5\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0.5 \cdot 2 \\ 0.5 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0.5 \end{bmatrix}$。这个向量方向相同但长度是其一半。

原始向量 $\mathbf{v}$（蓝色），按 2 缩放（绿色），以及按 -1 缩放（红色）。缩放改变长度并可能改变方向。

使用 NumPy 在 Python 中进行标量乘法

NumPy 使用标准乘法运算符 * 使标量乘法变得简单。

我们来定义向量 (vector) $\mathbf{v}$ 和标量 $c$。

import numpy as np

# 定义向量 v
v = np.array([2, 1])

# 定义标量 c
c = 3

# 执行标量乘法
scaled_v = c * v

print(f"原始向量 v: {v}")
print(f"标量 c: {c}")
print(f"缩放后的向量 c*v: {scaled_v}")

输出：

Original vector v: [2 1]
Scalar c: 3
Scaled vector c*v: [6 3]

如预期的那样，NumPy 将向量 v 的每个元素乘以标量 c=3。

我们来尝试使用负标量进行缩放：

# 定义一个负标量
c_neg = -1.5

# 执行标量乘法
scaled_neg_v = c_neg * v

print(f"原始向量 v: {v}")
print(f"负标量 c_neg: {c_neg}")
print(f"缩放后的向量 c_neg*v: {scaled_neg_v}")

输出：

Original vector v: [2 1]
Negative scalar c_neg: -1.5
Scaled vector c_neg*v: [-3.  -1.5]

同样，每个元素 [2, 1] 乘以 -1.5 得到 [-3.0, -1.5]。请注意 NumPy 自动处理浮点数结果。

标量乘法是线性代数和机器学习 (machine learning)中常使用的基本组成部分，通常用于调整由向量表示的特征的影响或比例。