向量表示法

向量是一个有序数字列表，表示大小和方向，或者简单地表示空间中的一个点。为了处理这些基础的数学对象，我们需要一种统一的方法来书写它们。如同我们在代数中使用 $x$ 或 $y$ 等符号表示未知数，线性代数也使用特定的表示法来表示向量。这种表示法有助于将向量与单个数字（标量）区分开，并使数学表达式清晰准确。

向量的符号表示

向量通常有两种主要的表示方法：

1. **小写粗体字母：**这在印刷文本和教科书中非常常见。例如，$\mathbf{v}$ 或 $\mathbf{x}$ 代表向量。
2. **带箭头的小写字母：**这经常用于白板书写或笔记中。例如，$\vec{v}$ 或 $\vec{x}$。

这两种表示法都表明我们正在讨论的是一个向量，而不仅仅是 $a$ 或 $b$ 这样的简单标量值。在本课程中，我们将主要使用小写粗体字母约定，如 $\mathbf{v}$。

向量的分量和索引

向量由其分量定义，分量是有序列表中的各个数字。我们通常用方括号或圆括号将这些分量括起来。

例如，一个具有 $n$ 个分量的向量 $\mathbf{v}$ 可以写成：

$$\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$$

或者有时使用圆括号：

$$\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$$

这里，$v_1$ 是第一个分量，$v_2$ 是第二个分量，$v_n$ 是第 $n$ 个分量。下标数字（1、2、...、n）表示分量在向量中的位置。

**索引的重要说明：**在数学中，向量分量通常是1-索引的，这意味着第一个元素是 $v_1$，第二个是 $v_2$，以此类推。但在编程中，特别是在 Python 和 NumPy 等库中，索引通常是0-索引的。这表示第一个元素位于索引0，第二个位于索引1，等等。当我们在代码中实现向量时，我们将使用基于0的索引。了解这两种约定很有用。

列向量与行向量

分量的视觉排列方式很重要，尤其是在我们之后开始使用矩阵时。有两种主要形式：

1. **列向量：**分量垂直排列成一列。这在许多线性代数环境中通常是默认表示。

   $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$$

2. **行向量：**分量水平排列成一行。

   $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$$

   或者简单地写成行内形式：$\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$。

它们虽然包含相同信息，但列向量和行向量之间的区别对于矩阵乘法等运算而言变得很重要。除非另有说明，当我们提及“向量”时，通常隐含地指列向量。然而，行向量也经常使用，尤其是在表格或数据集中表示数据点时，其中每行可能是一个数据样本（向量）。

示例

• 一个二维列向量 $\mathbf{a}$：

  $$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$$

  这里，$a_1 = 3$ 和 $a_2 = -1$。

• 一个三维行向量 $\mathbf{b}$：

  $$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 2.5 \end{bmatrix}$$

  这里，$b_1 = 5$，$b_2 = 0$，和 $b_3 = 2.5$。

• 一个通用 $n$ 维列向量 $\mathbf{x}$：

  $$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$

向量空间

你可能还会遇到像 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ 这样的表示法。这是数学上的简写，表明 $\mathbf{v}$ 是一个向量，属于所有可能的 $n$ 维向量集合，其中每个分量都是实数。$\mathbb{R}$ 代表实数集，上标 $n$ 表示维度（分量数量）。

• $\mathbb{R}^2$ 是所有二维向量的空间（例如标准 x-y 平面上的点）。
• $\mathbb{R}^3$ 是所有三维向量的空间。
• $\mathbb{R}^n$ 是所有具有 $n$ 个实值分量向量的空间。

理解这种表示法有助于阅读与机器学习算法相关的数学定义。

记住这种标准表示法，我们就能清晰地沟通和处理向量。接下来，我们将看到如何使用 Python 的 NumPy 库来表示这些数学对象。