向量加法与减法

向量 (vector)是基本数学对象，可以使用 NumPy 数组等结构进行表示。掌握向量上的基本运算至关重要。本文将介绍两种主要的向量运算：向量加法和减法。这些运算是按元素进行的，意味着它们对所涉及向量的对应分量进行操作。

向量 (vector)加法

两个向量的相加很简单。你只需将每个向量的对应元素相加即可。为了使此运算有效，向量必须具有相同数量的元素，也就是说它们必须具有相同的维度或长度。

在数学上，如果你有两个 $n$维向量，$\vec{u}$ 和 $\vec{v}$：

$$\vec{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$$ $$\vec{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$$

它们的和，$\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$，计算如下：

$$\vec{w} = [u_1 + v_1, u_2 + v_2, \dots, u_n + v_n]$$

例如，我们来相加两个3维向量： $\vec{u} = [1, 2, 3]$ $\vec{v} = [4, 5, 6]$

和是： $\vec{u} + \vec{v} = [1+4, 2+5, 3+6] = [5, 7, 9]$

几何解释

在几何上，向量加法可以通过将第二个向量 ($\vec{v}$) 的尾部放在第一个向量 ($\vec{u}$) 的头部来描绘。结果向量和 ($\vec{u} + \vec{v}$) 从原点（$\vec{u}$ 的尾部）开始，结束于重新定位的 $\vec{v}$ 的头部。这通常被称为“首尾相接”规则。或者，当两个原始向量都从原点开始时，它形成由这两个向量构成的平行四边形的对角线。

使用首尾相接法进行向量加法。向量 $\vec{u}$（蓝色）与向量 $\vec{v}$（粉色，已移动）相加。结果向量 $\vec{u}+\vec{v}$（绿色）从原点到移动后的 $\vec{v}$ 的尖端。虚线表示平行四边形的补全。

在NumPy中的实现

NumPy 使向量加法变得非常直观。你可以直接对表示向量的 NumPy 数组使用标准 + 运算符。NumPy 会自动处理按元素的加法。

import numpy as np

# 定义两个NumPy数组作为向量
u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, 5, 6])

# 相加向量
w = u + v

print(f"向量 u: {u}")
print(f"向量 v: {v}")
print(f"和 u + v: {w}")

Output:

向量 u: [1 2 3]
向量 v: [4 5 6]
和 u + v: [5 7 9]

请记住，如果你尝试相加不同长度的向量，NumPy 会引发 ValueError，因为无法执行按元素操作。

# 不兼容形状的例子
a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4, 5])

try:
    c = a + b
except ValueError as e:
    print(f"向量 a 和 b 相加错误: {e}")

Output:

向量 a 和 b 相加错误: operands could not be broadcast together with shapes (2,) (3,)

向量 (vector)减法

向量减法与加法类似。你将第二个向量的对应元素从第一个向量中减去。同样，两个向量必须具有相同的维度。

如果你有两个 $n$维向量，$\vec{u}$ 和 $\vec{v}$：

$$\vec{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$$ $$\vec{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$$

它们的差，$\vec{d} = \vec{u} - \vec{v}$，计算如下：

$$\vec{d} = [u_1 - v_1, u_2 - v_2, \dots, u_n - v_n]$$

例如，使用之前相同的向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$： $\vec{u} = [1, 2, 3]$ $\vec{v} = [4, 5, 6]$

差是： $\vec{u} - \vec{v} = [1-4, 2-5, 3-6] = [-3, -3, -3]$

几何解释

在几何上，从 $\vec{u}$ 减去 $\vec{v}$ ($\vec{u} - \vec{v}$) 等同于将 $\vec{v}$ 的负向量加到 $\vec{u}$ 上 ($\vec{u} + (-\vec{v})$)。向量 $-\vec{v}$ 与 $\vec{v}$ 具有相同的模，但方向相反。另一种描绘 $\vec{u} - \vec{v}$ 的方式是，当 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 都从原点开始时，它是一个从 $\vec{v}$ 的头部开始，到 $\vec{u}$ 的头部结束的向量。

使用 $\vec{u} + (-\vec{v})$ 方法进行向量减法。向量 $\vec{u}$（蓝色）与向量 $-\vec{v}$（粉色，已移动）相加。结果向量 $\vec{u}-\vec{v}$（绿色）从原点到移动后的 $-\vec{v}$ 的尖端。

在NumPy中的实现

与加法类似，NumPy 中的向量减法使用标准 - 运算符。

import numpy as np

# 定义两个向量
u = np.array([1, 2, 3])
v = np.array([4, 5, 6])

# 从向量 u 中减去向量 v
d = u - v

print(f"向量 u: {u}")
print(f"向量 v: {v}")
print(f"差 u - v: {d}")

# 从向量 v 中减去向量 u
d_reversed = v - u
print(f"差 v - u: {d_reversed}")

Output:

向量 u: [1 2 3]
向量 v: [4 5 6]
差 u - v: [-3 -3 -3]
差 v - u: [3 3 3]

请注意，与加法不同，减法中顺序很重要 ($\vec{u} - \vec{v}$ 通常与 $\vec{v} - \vec{u}$ 不同)。向量加法满足交换律 ($\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$)，但减法不满足。

向量加法和减法是线性代数中的基本工具。它们构成机器学习 (machine learning)算法中许多运算的基础，例如计算误差向量或更新特征权重 (weight)。理解它们的工作原理，无论是在数学上还是在代码中，使用 NumPy 等库，都是构建线性代数基础的重要一步。