实践：NumPy 向量运算

Python 的 NumPy 库是进行机器学习 (machine learning)任务中向量 (vector)运算的常用工具。提供实际例子，帮助你熟练地在代码中进行这些向量运算。

首先，请确保你已安装 NumPy 并将其导入。通常的做法是将其导入为别名 np。

import numpy as np

表示向量 (vector)

如前所述，我们在 NumPy 中使用一维数组来表示向量。让我们创建几个向量来进行操作。

# 创建两个向量
v = np.array([1, 2, 3])
w = np.array([4, 5, 6])

print("向量 v:", v)
print("向量 w:", w)

这创建了两个向量：$v = [1, 2, 3]$ 和 $w = [4, 5, 6]$。

向量 (vector)加法和减法

在 NumPy 中进行向量加法或减法很简单，并且是按元素执行的，如同其数学定义一样。

# 向量加法
vector_sum = v + w
print("v + w =", vector_sum)

# 向量减法
vector_diff = v - w
print("v - w =", vector_diff)

输出显示了 $[1+4, 2+5, 3+6]$ 和 $[1-4, 2-5, 3-6]$ 的结果。NumPy 会自动处理按元素进行的运算。

标量乘法

将向量 (vector)乘以标量（单个数字）也很简单。向量的每个元素都将乘以该标量。

# 定义一个标量
s = 2

# 标量乘法
scaled_v = s * v
print(f"{s} * v =", scaled_v)

scaled_w = w * 0.5
print(f"0.5 * w =", scaled_w)

这里，向量 v 乘以 2，结果为 $[2*1, 2*2, 2*3] = [2, 4, 6]$。向量 w 乘以 0.5。

向量 (vector)范数：衡量长度

NumPy 的 linalg 子模块有计算向量范数的功能。最常用的范数是 $L_2$ 范数（欧几里得距离）和 $L_1$ 范数（曼哈顿距离）。

向量 $x = [x_1, x_2, ..., x_n]$ 的 $L_2$ 范数计算方式如下： $||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}$

$L_1$ 范数的计算方式如下： $||x||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$

# 计算 L2 范数（默认）
norm_v_l2 = np.linalg.norm(v)
print(f"v 的 L2 范数: {norm_v_l2:.4f}") # 格式化为4位小数

# 计算 L1 范数
norm_v_l1 = np.linalg.norm(v, ord=1)
print(f"v 的 L1 范数: {norm_v_l1}")

# 计算 w 的 L2 范数
norm_w_l2 = np.linalg.norm(w)
print(f"w 的 L2 范数: {norm_w_l2:.4f}")

# 计算 w 的 L1 范数
norm_w_l1 = np.linalg.norm(w, ord=1)
print(f"w 的 L1 范数: {norm_w_l1}")

np.linalg.norm 函数默认计算 $L_2$ 范数。要计算 $L_1$ 范数，我们需指定 ord=1。

对于 $v = [1, 2, 3]$： $L_2$ 范数 $= \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.7417$ $L_1$ 范数 $= |1| + |2| + |3| = 1 + 2 + 3 = 6$

代码输出与这些计算结果相符。

点积

两个向量 (vector) $v = [v_1, v_2, ..., v_n]$ 和 $w = [w_1, w_2, ..., w_n]$ 的点积计算方式如下： $v \cdot w = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i$

NumPy 有多种方法来计算点积。

# 方法 1：使用 np.dot()
dot_product_np_dot = np.dot(v, w)
print(f"使用 np.dot(v, w) 的点积: {dot_product_np_dot}")

# 方法 2：使用 @ 运算符（Python 3.5+ 推荐）
# 此运算符专门用于矩阵/向量乘法
dot_product_at = v @ w
print(f"使用 v @ w 的点积: {dot_product_at}")

# 方法 3：使用 NumPy 数组的 .dot() 方法
dot_product_method = v.dot(w)
print(f"使用 NumPy 数组的 .dot() 方法的点积: {dot_product_method}")

对于 $v = [1, 2, 3]$ 和 $w = [4, 5, 6]$ 的点积，这三种方法都得到相同的结果： $v \cdot w = (1*4) + (2*5) + (3*6) = 4 + 10 + 18 = 32$

在现代 Python 代码中，@ 运算符常常更受青睐，因为它清晰地将点积与按元素乘法（*）区分开来。

本动手实践部分演示了如何将我们学习的向量运算转化为可运行的 NumPy 代码。你现在可以创建向量、进行加法、缩放、测量其长度并计算点积。这些运算是许多机器学习 (machine learning)算法的基本组成部分。在接下来的章节中，我们会将这些概念扩展到矩阵。