机器学习算法中的线性代数

我们已经了解到，机器学习 (machine learning)中的数据常常被整齐地组织成向量 (vector)和矩阵。但线性代数如何帮助我们运用这些数据呢？事实表明，线性代数的基本运算是许多机器学习算法的计算核心。让我们看几个例子。

线性回归：预测数值

机器学习 (machine learning)中最常见的任务之一是预测。线性回归是一种基本算法，用于根据一组输入特征（如房屋面积、卧室数量）来预测连续的数值（如房价）。

如果一个数据点有 $n$ 个特征，用向量 (vector) $\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n]$ 表示，线性回归模型会使用一组学到的“权重 (weight)”或“系数”（每个特征对应一个，存储在向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, ..., w_n]$ 中）以及一个偏置 (bias)项 $b$ 来预测输出 $y$。预测公式为：

$$y = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b$$

这个公式看起来很熟悉，对吧？它是一个乘积之和。线性代数允许我们使用权重向量 $\mathbf{w}$ 和特征向量 $\mathbf{x}$ 之间的点积（我们将在第3章详细介绍）更简洁地表达这一点：

$$y = \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b$$

在这里，点积 $\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}$ 完成了 $w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n$ 的计算。以这种方式表示计算不仅符号更简洁，还使得计算机能够使用NumPy等优化的线性代数库非常高效地执行计算。

此外，当我们有许多数据点（例如 $m$ 个）时，我们可以将特征向量 $\mathbf{x}$ 堆叠成一个矩阵 $X$（其中每行是一个数据点），并将我们的预测结果放入向量 $\mathbf{y}$ 中。找到最佳权重向量 $\mathbf{w}$ 通常涉及解决从这种矩阵表示派生出的线性方程组，使用诸如矩阵求逆或分解之类的技术（我们将在第6章提及这些思想）。

线性回归的一个视图。输入特征（向量 $\mathbf{x}$）通过点积这一线性代数核心运算与模型权重（向量 $\mathbf{w}$）结合。在生成最终预测值 $y$ 之前，通常会添加一个偏置项 $b$。

图像处理：处理像素

考虑数字图像。灰度图像本质上是一个矩阵，其中每个元素代表一个像素的强度。彩色图像通常表示为三个矩阵（每个通道，即红、绿、蓝各一个）。

机器学习 (machine learning)模型处理图像时，例如图像识别中使用的卷积神经网络 (neural network)（CNN），会直接对这些矩阵进行运算。例如，“卷积”运算涉及到将一个小矩阵（称为核或滤波器）在图像矩阵上滑动，在每个位置执行逐元素乘法并求和结果。这从根本上讲是一系列矩阵运算，用于检测边缘、纹理或形状等特征。线性代数提供了定义和高效计算这些运算的工具。

降维：简化数据

有时，数据集具有非常多的特征（高维度）。这会使计算变慢，有时还会隐藏数据中固有的模式。降维技术旨在减少特征数量，同时尽可能多地保留重要信息。

主成分分析（PCA）是一种常用的技术。虽然本入门课程不涵盖具体细节，但PCA通过分析数据矩阵中特征之间的关系来发挥作用。它找到新的组合特征（主成分），这些特征捕捉了数据中的最大变异。这个过程非常依赖线性代数中的思想，如矩阵分解（特别是特征值分解或奇异值分解SVD），这些分解将矩阵分解成组成部分，展现其内部结构。

推荐系统：推荐物品

想想流媒体服务如何推荐电影，或在线商店如何推荐商品。许多推荐系统使用一种称为协同过滤的技术。

核心思想是使用向量 (vector)来表示用户偏好和物品属性。一个大矩阵可能表示不同用户如何评价不同物品（其中许多条目缺失，因为用户没有评价所有物品）。线性代数技术，特别是矩阵分解，用于“填补”缺失的条目。这涉及到将大型用户-物品交互矩阵分解成较小的矩阵，这些矩阵表示用户和物品的潜在（隐藏）属性。将这些较小的矩阵相乘可以近似原始矩阵，从而为用户尚未看过的物品提供预测。

共同之处

在所有这些例子中，线性代数提供了表达方式和计算工具：

• 表示: 向量 (vector)和矩阵组织数据（特征、像素、评分）。
• 运算: 向量和矩阵运算（点积、矩阵乘法、转置、求逆、分解）定义了算法中的步骤。

掌握这些基本构成部分（我们将在接下来的章节中进行讲解）对于理解许多机器学习 (machine learning)算法如何处理信息和从数据中学习而言非常重要。我们将从熟悉在Python中执行这些操作的主要工具NumPy开始。