核心思想概述

如前所述，机器学习 (machine learning)很大一部分涉及处理结构化数据。线性代数为有效处理这些数据提供了必不可少的数学工具。本课程将引导您学习这些基本构成元素。下面我们简要地看一下您将学习到的主要思想。

向量 (vector)：数据的构成元素

简单来说，一个向量是一个有序的数字列表。可以将其视为表示单个数据点或一组特征的方式。例如，如果您在分析房价，一个向量可能代表一所房子，包含其面积（平方英尺）、卧室数量和房龄（年）等元素。

[1500, 3, 10]  # 房子的向量示例

在本课程中，您将学到：

• 什么是向量： 既从代数（数字列表）角度，有时也从几何（大小和方向）角度。
• 如何表示向量： 使用标准数学符号，更重要的是，如何在Python中使用NumPy库创建和处理它们。
• 基本运算： 我们将涵盖向量加法、减法和标量乘法（将向量乘以一个数字）。这些运算对于组合特征向量或缩放数据等任务来说很重要。
• 向量的度量： 范数等思想（衡量向量的长度或大小）和点积（一种将两个向量相乘，得到一个数字的方法）在许多机器学习 (machine learning)算法中是基本构成部分，包括距离计算和投影。

矩阵：组织数据和变换

如果向量 (vector)像数据的单行或单列，矩阵则是一个矩形数字网格，按行和列排列。矩阵对于表示整个数据集非常有用，其中每行可能是一个数据点（如一栋房子），每列是一个特征（如面积、卧室数量、房龄）。

[[1500, 3, 10],  # 房子 1
 [2100, 4,  5],  # 房子 2
 [1200, 2, 25]]  # 房子 3

一个表示多栋房子特征的矩阵。

矩阵不仅用于存储数据；它们还可以表示操作或变换，例如旋转或缩放数据点。您将学到：

• 矩阵基本知识： 定义、表示法（例如，通过行和列索引识别元素）和维度（行 x 列）。
• Python中的矩阵表示： 使用二维NumPy数组进行矩阵计算。
• 特殊类型的矩阵： 我们将了解有用的矩阵，例如方阵、单位矩阵（相当于数字1的矩阵）、零矩阵、对角矩阵和三角矩阵。
• 主要矩阵运算： 包括矩阵加法、减法、标量乘法、转置（翻转行和列），以及非常重要的矩阵乘法。矩阵乘法是一项普遍采用的操作，广泛用于神经网络 (neural network)、降维和求解方程组。我们将仔细研究它的工作原理和属性。

线性方程组：求解未知量

机器学习 (machine learning)中的许多问题，例如为线性回归模型寻找最佳参数 (parameter)，都可以被构设为求解一个线性方程组。例如，您可能有这样的方程：

$$2x + 3y = 7$$ $$x - y = 1$$

线性代数提供了一种强有力的方法来使用矩阵和向量 (vector)以 $Ax = b$ 的形式表示此类系统，其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是未知变量的向量，$b$ 是结果向量。

我们将涵盖以下内容：

• 方程组的表示： 如何将一组线性方程转换为矩阵形式。
• 解的含义： 找到满足方程的数值（向量 $x$）意味着什么。
• 矩阵逆： 对于某些矩阵（方阵和非奇异矩阵），逆矩阵存在，这类似于普通算术中的除法。我们将研究逆矩阵是什么、何时存在，以及如何用它来求解方程组（$x = A^{-1}b$）。
• 计算求解方程组： 尽管逆矩阵很重要，但我们将看到NumPy如何提供高效的函数（如linalg.solve）来直接找到 $Ax = b$ 的解，这在实际中通常更受欢迎。

在整个课程中，我们不会只关注数学理论。我们将持续把这些思想转化为实用的Python代码，并使用NumPy库，确保您理解在线性代数在与机器学习相关的计算环境中应用的内容和方式。掌握这些核心思想，即向量、矩阵及其运算，将使您能够很好地理解许多机器学习模型的工作原理。