使用PCA进行降维

设想你的数据集有数百个特征。例如，一个房地产数据集可能包括面积、房间数量、建筑年龄、到最近学校的距离、当地犯罪率以及几十个其他变量。虽然更多数据可能有帮助，但拥有过多特征或维度，会使机器学习模型难以有效学习。这会增加计算时间，并可能导致一个被称为“维度灾难”的问题，即模型从噪声中学习，而非数据中的潜在信息。

为了处理具有大量特征的数据并提升机器学习模型的效率，降维技术是不可或缺的。其目标是减少特征数量，同时尽可能保留数据集中主要的信息。主成分分析（PCA）是实现这一目的最常用且有效的方法之一。

PCA 的作用

本质上，PCA是一种将数据转换为一组新特征（称为主成分）的方法。这些新成分按照它们捕获原始数据方差的多少进行排序。第一个主成分（PC1）旨在捕获尽可能大的方差。第二个主成分（PC2）捕获次大的方差，其条件是它必须与第一个主成分正交（垂直）。所有成分都依此进行。

这个过程会为你提供一个排列好的成分列表。为了减少维度，你只需保留前几个捕获了大部分信息的成分，并丢弃其余的。

特征向量和特征值的作用

我们第5章学过的特征向量和特征值在这里变得非常有用。PCA通过分析数据集中特征之间的关系来运作。这种关系由一个称为协方差矩阵的矩阵表示。

这个协方差矩阵的特征向量指向数据中方差最大的方向。实际上，这些特征向量就是主成分。具有最大对应特征值的特征向量是第一个主成分，因为它指向数据中“散布”最大的方向。具有次大特征值的特征向量是第二个主成分，依此类推。

特征值本身说明了每个主成分捕获的方差量。较大的特征值表示其对应的特征向量（和主成分）很有意义。

视觉示例

让我们看一个简单的二维数据集。设想将两个特征相互绘制，数据点形成一个细长的云团。

主成分（红色和橙色箭头）标识了数据中方差最大的轴。PC1捕获了最大的散布，而PC2捕获了次大的散布。

在此图中，你可以看到数据沿红色箭头（PC1）方向变化最大。沿橙色箭头（PC2）方向的变化则小得多。如果我们要将此数据集从二维降至一维，我们可以将所有数据点投影到由PC1定义的线上。我们将丢失与PC2相关的信息，但由于PC1捕获了大部分方差，我们将保留数据最主要的结构。

PCA 的步骤

以下是执行PCA的一个高层总结：

1. 标准化数据： 调整数据，使每个特征的均值为0，标准差为1。这确保了具有较大尺度的特征不会在分析中占据主导地位。
2. 计算协方差矩阵： 计算协方差矩阵，以了解数据集中不同特征之间如何相互变化。
3. 找到特征值和特征向量： 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。正如我们所说，这是该过程的核心。
4. 排序并选择成分： 根据其对应的特征值，将特征向量按降序排列。具有最高特征值的特征向量是第一个主成分。然后你决定保留多少成分。一个常见做法是保留足够的成分来解释总方差的某个百分比，例如95%。
5. 转换数据： 使用选定的特征向量将原始数据转换为新的、低维空间。结果是一个特征较少但保留了大部分原始信息的新数据集。

通过应用PCA，我们利用线性代数的基本原理，特别是特征值和特征向量，使数据量大的数据集更易于处理。这使得它们更容易可视化、处理速度更快，并且通过去除噪声，通常能在机器学习模型中带来更好的表现。