几何解释

尽管方程 $Av = \lambda v$ 给出了精确的代数定义，但理解特征值和特征向量的真正直观认识源于几何学。将矩阵视为一个转换空间的功能，有助于我们理解这些特殊的向量和标量实际表示什么。

设想你在一个二维平面上有一个点网格。当你应用矩阵变换时，这个网格可以被拉伸、压缩、旋转或剪切。这个网格上的大多数向量都会偏离其原始方向。例如，一个指向东北的向量在变换后可能最终指向东方。

然而，特征向量是例外。它们是位于通过原点的直线上，并且在变换过程中不改变方向的向量。矩阵只对它们进行缩放，使它们变长或变短。

变换的轴

可以把特征向量看作是变换的主要轴线。它们确定了变换行为最简单的方向：纯粹的拉伸或压缩。

我们来看一个变换矩阵 $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$

这个矩阵将沿x轴的一切缩放2倍，将沿y轴的一切缩放3倍。

• x轴上的向量： 取向量 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。应用变换得到:

  $$Av_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

  结果向量是 $2 \times v_1$。它仍在x轴上，只是长度变为两倍。这里，$v_1$ 是一个特征向量，其对应的特征值是 $\lambda_1 = 2$。

• y轴上的向量： 现在取向量 $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。应用变换得到:

  $$Av_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$$

  结果向量是 $3 \times v_2$。它仍在y轴上，但长度变为三倍。所以，$v_2$ 是另一个特征向量，其特征值为 $\lambda_2 = 3$。

• 任意向量： 那么一个不在这些轴上的向量，例如 $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 呢？

  $$Av_3 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

  原始向量 $v_3$ 沿着直线 $y=x$ 指向。新向量 $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 指向一个完全不同的方向。因此，$v_3$ 不是这个变换的特征向量。

下面的图表说明了这一点。实线是原始向量，虚线是变换后的向量。请注意蓝色和绿色向量如何保持在它们的原始线上（它们是特征向量），而橙色向量则被旋转到了一个新的方向。

特征向量 $v_1$ 和 $v_2$ 仅通过变换进行缩放。非特征向量 $v_3$ 改变了方向。

特征值 ($λ$) 的含义

特征值 $\lambda$ 是缩放因子。它的值准确地告诉我们特征向量是如何被拉伸或收缩的。

• 如果 $|\lambda| > 1$，特征向量被拉伸。
• 如果 $|\lambda| < 1$，特征向量被收缩或压缩。
• 如果 $\lambda = 1$，特征向量不受变换影响而保持不变。它位于一条“稳定线”上。
• 如果 $\lambda = 0$，特征向量被压扁到原点。这意味着变换沿该特征向量的维度使空间坍缩。
• 如果 $\lambda$ 为负值，特征向量会翻转指向相反方向，并按其大小进行缩放。例如，特征值为 -2 意味着向量指向相反方向，且长度是原来的两倍。

旋转变换如何？

考虑一个将每个向量逆时针旋转90度的矩阵:

$$R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

如果你应用这个变换，每个向量都会改变方向。像这样的旋转矩阵没有实特征向量，因为没有向量（除了零向量）能保持其方向。它的特征值是复数，这是更高级学习的一个方面。目前，只需知道并非所有变换都具有能在标准二维或三维空间中绘制的特征向量。

总而言之，几何视角是理解此主题的有效途径。特征向量是变换的稳定方向，而特征值量化了沿这些稳定方向的拉伸或压缩程度。这为矩阵对其作用空间所做的事情提供了基本描述。