定义特征值和特征向量

当一个矩阵作用于一个向量时，它通常会改变向量的方向。但对于大多数方阵，某些非零向量是特别的。这种变换只会拉伸或收缩它们，保持它们原来的方向不变。这些特殊向量被称为特征向量，而它们被缩放的因子则是它们对应的特征值。

这种独特的关系用一个简单而有力的方程表示：

$$Av = \lambda v$$

这个方程说明，当矩阵 $A$ 作用于其特征向量 $v$ 时，结果等同于将 $v$ 乘以一个标量，即特征值 $\lambda$。

让我们分解每个组成部分：

• $A$ 是表示线性变换的方阵。
• $v$ 是特征向量，一个非零向量，其方向在变换中保持不变。
• $\lambda$ (希腊字母 lambda) 是特征值，一个标量，它表示特征向量 $v$ 被拉伸、收缩或翻转的倍数。

本质上，特征向量定义了变换的“轴”。其他向量以复杂的方式旋转和缩放，而特征向量指向变换仅作为缩放操作的那些方向。

对于一般向量，矩阵变换会改变其方向。对于特征向量，变换只会沿着同一条线（其“特征空间”）对其进行缩放。

一个具体示例

让我们用数字来具体说明。考虑以下矩阵 $A$：

$$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

现在，我们来测试向量 $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 是否是 $A$ 的一个特征向量。我们通过应用变换（将 $A$ 乘以 $v$）并查看结果是否是 $v$ 的一个缩放版本来完成此操作。

首先，计算方程的左侧，$Av$：

$$Av = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(2) + (-2)(1) \\ 1(2) + 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$$

变换的结果是向量 $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$。现在，我们检查这个结果是否是我们原始向量 $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 的倍数。

是否存在一个标量 $\lambda$，使得 $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$？

是的，存在。我们可以看出：

$$\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

因为我们找到了这样一个标量，我们已经确认 $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ 是矩阵 $A$ 的一个特征向量。对应的特征值是 $\lambda = 3$。变换 $A$ 将这个特定向量拉伸了 3 倍，而没有改变其方向。

特征值的解释

$\lambda$ 的值提供了关于变换如何作用于相应特征向量的重要信息：

• 如果 $\lambda > 1$，特征向量被拉伸。
• 如果 $0 < \lambda < 1$，特征向量被收缩。
• 如果 $\lambda = 1$，特征向量在变换中保持不变。
• 如果 $\lambda < 0$，特征向量被翻转到相反方向，然后进行缩放。
• 如果 $\lambda = 0$，特征向量会坍缩到原点（零向量）。

非零条件

值得注意的是，特征向量必须是非零向量。为什么？如果我们允许 $v$ 为零向量，方程 $A v = \lambda v$ 将变为 $A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}$，简化后为 $\mathbf{0} = \mathbf{0}$。这个方程对任何矩阵 $A$ 和任何标量 $\lambda$ 都成立。它无法提供关于变换的有用信息，因此我们根据定义排除了零向量。