特征方程

我们已经明确，对于一个特征向量 $v$，变换 $A$ 仅通过其对应的特征值 $\lambda$ 对其进行缩放。这种关系由方程 $Av = \lambda v$ 表述。虽然此方程完美描绘了特征值和特征向量的性质，但它并未直接指明如何针对给定矩阵 $A$ 来求取它们。为此，我们需要一种代数方法，该方法始于重新整理这个基本方程。

我们的目标是求出使此方程对某个非零向量 $v$ 成立的 $\lambda$ 值（即特征值）。我们首先将所有项移至方程的一侧：

$Av - \lambda v = 0$

乍看之下，我们似乎可以将向量 $v$ 提取出来，但这里有一个小障碍。在项 $Av$ 中，$v$ 与矩阵 $A$ 相乘，而在 $\lambda v$ 中，它与标量 $\lambda$ 相乘。我们不能从矩阵中减去一个标量。为了解决这个问题，我们可以使用单位矩阵 $I$。回想一下，将任意向量 $v$ 乘以单位矩阵 $I$ 会使其保持不变，因此 $v = Iv$。我们可以将其代入我们的方程：

$Av - \lambda(Iv) = 0$

现在，两项都涉及矩阵与向量 $v$ 相乘，这使得我们能够将 $v$ 提取出来：

$(A - \lambda I)v = 0$

这个单一的方程提供了很多信息。它告诉我们，当我们将向量 $v$ 乘以矩阵 $(A - \lambda I)$ 时，结果是零向量。

求取非平凡解

方程 $(A - \lambda I)v = 0$ 的一个显而易见的解是 平凡解，即 $v$ 是零向量。然而，特征向量的定义要求它是一个非零向量。毕竟，零向量的方向未定义，所以其方向在变换下保持不变的说法并没有太大用处。

这意味着我们正在寻找一个满足此方程的非零向量 $v$。形如 $Mx = 0$ 的线性方程组仅当矩阵 $M$ 奇异时才存在非零解 $x$。奇异矩阵是没有逆矩阵的矩阵。检查方阵是否奇异的一种便捷方法是计算其行列式。如果行列式为零，则该矩阵是奇异的。

将此应用于我们的情况，要使方程 $(A - \lambda I)v = 0$ 存在非零解 $v$，矩阵 $(A - \lambda I)$ 必须是奇异的。这直接引出了我们所需的条件：

$\det(A - \lambda I) = 0$

此方程被称为矩阵 $A$ 的特征方程。

从初始特征值定义推导特征方程的过程。

示例：计算特征值

我们来为一个简单的 2x2 矩阵求取特征值，以看特征方程如何运用。假设我们有矩阵 $A$：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

步骤 1：构建矩阵 $(A - \lambda I)$

首先，我们从 $A$ 中减去 $\lambda I$：

$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$$

步骤 2：计算行列式并将其设为零

接下来，我们求此新矩阵的行列式。对于一个 2x2 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式为 $ad - bc$。

$$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda) - (1)(1) = 0$$

步骤 3：求解特征方程以求取 $\lambda$

展开此方程会得到一个关于 $\lambda$ 的多项式，此多项式被称为特征多项式。

$$(4 - 4\lambda + \lambda^2) - 1 = 0$$ $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$$

我们可以通过因式分解来求解这个二次方程：

$$(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$$

这为我们提供了 $\lambda$ 的两个解。这些解即为矩阵 $A$ 的特征值：

$$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1$$

通过求解特征方程，我们成功求得了矩阵 $A$ 的特征值。这些是矩阵 $A$ 定义的线性变换的两个特殊缩放因子。下一步（我们将在稍后讲解）是将这些特征值中的每一个代回方程 $(A - \lambda I)v = 0$，以求取它们对应的特征向量。