矩阵的逆

解像 $5x = 20$ 这样的方程在基础代数中是很直接的。为了使未知变量 $x$ 独立，你将方程两边同乘以 5 的乘法逆元，即 $1/5$ 或 $5^{-1}$。这会得到 $(5^{-1}) \cdot 5x = (5^{-1}) \cdot 20$，简化后为 $1x = 4$，或者就是 $x = 4$。

我们可以将非常类似的思路应用于矩阵方程 $Ax = b$。我们希望使向量 $x$ 独立。然而，你不能对矩阵进行“除法”。相反，我们需要找出矩阵形式的乘法逆元：矩阵的逆。

方阵 $A$ 的逆矩阵表示为 $A^{-1}$。当你将一个矩阵与其逆矩阵相乘时，你会得到单位矩阵 $I$。单位矩阵是相当于数字 1 的矩阵形式，我们将在下一节中更详细地查看它。它是一个主对角线上是 1，其他所有位置是 0 的方阵。

逆矩阵的定义性质是：

$$A A^{-1} = A^{-1} A = I$$

使用逆矩阵求解

有了矩阵逆 $A^{-1}$，我们有了一种直接方法来解我们的方程组。让我们通过将其应用到我们最初的问题 $Ax = b$ 来看看它是如何工作的。

1. 从方程开始：

   $$Ax = b$$

2. 在方程两边预乘以逆矩阵 $A^{-1}$： 要记住在方程两边都从左侧相乘，因为矩阵乘法不满足交换律（意思是 $AB$ 不总是等于 $BA$）。

   $$A^{-1} (Ax) = A^{-1} b$$

3. 矩阵分组： 由于矩阵乘法满足结合律，我们可以重新组合左侧的项。

   $$(A^{-1} A) x = A^{-1} b$$

4. 使用逆矩阵性质进行简化： 我们知道 $A^{-1} A$ 简化为单位矩阵 $I$。

   $$I x = A^{-1} b$$

5. 使 $x$ 独立： 将任何向量或矩阵乘以单位矩阵 $I$ 都会使其保持不变（就像将一个数乘以 1 一样）。因此，$Ix$ 简单来说就是 $x$。

   $$x = A^{-1} b$$

这个最终方程为我们提供了一个直接公式来找到未知向量 $x$。如果我们可以找到矩阵 $A$ 的逆，我们只需将 $A^{-1}$ 乘以向量 $b$ 即可解该系统。

该图说明了逆矩阵 $A^{-1}$ 如何被用来将问题 $Ax = b$ 转换为直接解出 $x$。

逆矩阵何时存在？

在我们过于乐观之前，有一个主要条件：并非所有矩阵都有逆矩阵。一个矩阵 $A$ 要拥有逆矩阵，它必须满足两个条件：

1. 矩阵必须是方阵。 逆矩阵只对行数和列数相等的矩阵有定义（例如 2x2, 3x3）。这与以下观点一致：对于线性方程组的唯一解，通常需要与未知变量数量相等的方程数。
2. 矩阵必须是非奇异的。 这是一个你将在下一节中查看的新术语。目前，可以把奇异矩阵看作是会使数据“塌缩”的矩阵。例如，它可能将一个二维平面转换为一条单线。如果一个矩阵这样做，信息会丢失，并且无法逆转这种转换。一个非奇异的，或者说可逆的矩阵不会丢失信息。

让我们看一个简单的例子。考虑矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$$

这个矩阵的逆（可以通过我们稍后会看到的方法找到）是：

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$

为了验证这确实是逆矩阵，让我们将它们相乘，看看是否得到单位矩阵：

$$A A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \cdot 1.5 + 1 \cdot -2) & (2 \cdot -0.5 + 1 \cdot 1) \\ (4 \cdot 1.5 + 3 \cdot -2) & (4 \cdot -0.5 + 3 \cdot 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$

这行得通。如果我们有一个方程组，其中 $A$ 是我们的系数矩阵，我们就可以使用这个 $A^{-1}$ 来找到解。

矩阵逆是解线性系统的基本工具。但这引出了两个值得思考的问题：我们如何知道一个矩阵是否可逆，而无需只是尝试去找到它的逆矩阵？以及我们如何高效地计算逆矩阵或解系统？我们将在关于行列式的下一节中开始回答这些问题。