行列式与可逆性

如果矩阵 A 有逆矩阵，那么我们可以解出 $Ax = b$ 中的 $x$。这就引出了一个要事：我们怎么知道一个矩阵是否有逆矩阵呢？并非所有矩阵都可逆，尝试用不可逆矩阵求解方程组可能会出问题。我们用来检查此事的工具就是行列式。

行列式是一个从方阵元素计算得出的单一标量值。这个数字能反映矩阵及其所代表的线性变换的许多信息。

行列式的几何视角

明白行列式的一种有效方法是思考它的几何意义。当矩阵 A 乘以一个向量 (vector)时，它会变换这个向量。如果我们把同样的变换应用于构成一个形状（比如简单的单位正方形）的所有向量，那么形状本身也会被变换。

2x2 矩阵的行列式表示该变换对区域的缩放因子。

例如，二维空间中的单位正方形面积为 1。如果我们对其施加一个矩阵变换，并且得到的形状（通常是平行四边形）面积为 5，那么该变换矩阵的行列式就是 5。如果面积是 0.5，行列式就是 0.5。

最需要注意的情况是行列式为零时。行列式为零表示变换将原始形状压缩成了没有面积的东西，比如一条线或一个点。这是一种会丢失维度的破坏性变换。

非零行列式表明变换会缩放空间，这是可逆的。零行列式表明变换会压缩空间，这是不可逆的。

如果一个变换将二维正方形压缩成一维直线，你就丢失了信息。没有办法“解压缩”那条线并完美地恢复原始正方形。这种信息丢失就是零行列式的矩阵不可逆的原因。

计算行列式

对于一个简单的 2x2 矩阵，行列式的计算公式很直接。给定一个矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

行列式，通常写作 det(A) 或 $|A|$，计算方式如下：

$$\text{行列式}(A) = ad - bc$$

让我们看一个例子：

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

行列式是：

$$\text{行列式}(A) = (4 \times 3) - (1 \times 2) = 12 - 2 = 10$$

因为行列式是 10（非零），我们知道这个矩阵是可逆的。

对于大于 2x2 的矩阵，计算会变得更繁琐，但道理相同。实际应用中，你几乎总是会使用像 NumPy 这样的库来计算行列式，而不是手动计算。

可逆性规则

这引出了连接行列式与逆矩阵的核心规则：

一个方阵可逆当且仅当其行列式非零。

这是线性代数中的一个基本性质。在尝试找到矩阵的逆矩阵或求解依赖于逆矩阵的方程组之前，你可以先计算行列式。

• 如果 det(A) ≠ 0，则存在逆矩阵，且 $Ax = b$ 有唯一解。
• 如果 det(A) = 0，则逆矩阵不存在。方程组可能无解或有无数解，但不会有唯一解。

奇异矩阵与非奇异矩阵

这个性质引出了一些你将常遇到的正式术语：

• 非奇异矩阵：行列式非零的方阵。非奇异矩阵可逆。
• 奇异矩阵：行列式为零的方阵。奇异矩阵不可逆（也称为退化矩阵）。

因此，“这个矩阵有逆矩阵吗？”这个问题与“这个矩阵是非奇异的吗？”是相同的。通过计算行列式，你可以回答这两个问题。