特殊矩阵类型

尽管矩阵运算的一般规则适用于所有满足维度要求的矩阵，某些矩阵具有特殊的结构和性质，这使其特别有用。识别这些结构可以简化计算，并有助于更好地理解它们所代表的变换或数据。接下来，我们来看看在机器学习 (machine learning)中会遇到的一些最常见的特殊矩阵。

方阵

方阵是一种行数和列数相同的矩阵。它的维度为 $n imes n$。方阵在数学和机器学习 (machine learning)中是一种常见的特殊矩阵类型，具有独特的结构和性质。

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 9 & 2 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 1 & 6 \end{bmatrix}$$

上面的矩阵 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 的方阵。我们将要查看的许多特殊矩阵，包括单位矩阵、对角矩阵和对称矩阵，都要求是方阵。

单位矩阵

单位矩阵，记作 $I$ 或 $I_n$，是矩阵中的数字 1。在普通算术中，任何数乘以 1 都会保持不变。同样，任何矩阵乘以单位矩阵后也会保持不变。

单位矩阵是一个方阵，其主对角线（从左上到右下的元素）上的元素为 1，其余元素均为 0。

下面是 $2 \times 2$ 和 $3 \times 3$ 大小的单位矩阵：

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

单位矩阵的主要属性是，对于任何矩阵 $A$，以下关系成立：

$$A \cdot I = I \cdot A = A$$

这一属性是解决线性方程组的核心要素，我们将在下一章中介绍。

在 Python 中使用 NumPy

你可以使用 NumPy 的 eye() 函数轻松创建一个单位矩阵。

import numpy as np

# 创建一个 3x3 单位矩阵
I = np.eye(3)
print(I)

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

对角矩阵

对角矩阵是一个方阵，其中所有不在主对角线上的元素都是零。主对角线上的元素可以是任何值，包括零。单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，其所有对角线元素都为 1。

这是一个 $3 \times 3$ 对角矩阵的例子：

$$D = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

对角矩阵在计算上效率很高。将一个矩阵乘以对角矩阵会产生缩放该矩阵行或列的效果，这是线性变换中一个必要的操作。例如，它们可以用来缩放数据集中的单个特征。

在 Python 中使用 NumPy

NumPy 的 diag() 函数可以用来从数字列表或数组创建对角矩阵。

import numpy as np

# 从值列表中创建一个对角矩阵
D = np.diag([7, -2, 5])
print(D)

[[ 7  0  0]
 [ 0 -2  0]
 [ 0  0  5]]

对称矩阵

对称矩阵是一个方阵，它与其转置矩阵相同。换句话说，如果矩阵 $A$ 满足以下条件，它就是对称的：

$$A = A^T$$

这表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于第 $j$ 行第 $i$ 列的元素。矩阵是其自身沿主对角线的镜像。

这是一个对称矩阵的例子：

$$S = \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 8 & 7 & 4 \\ -3 & 4 & 9 \end{bmatrix}$$

注意 $(1, 2)$ 处的元素是 8，而 $(2, 1)$ 处的元素也是 8。$(1, 3)$ 处的元素是 -3，而 $(3, 1)$ 处的元素也是 -3。

对称矩阵在机器学习 (machine learning)中经常出现。一个最常见的例子是协方差矩阵，它描述了数据集中不同特征之间的方差和协方差。由于特征 X 和特征 Y 之间的协方差与 Y 和 X 之间的协方差相同，因此生成的矩阵始终是对称的。

在 Python 中使用 NumPy

你可以通过将其与转置矩阵进行比较来检查矩阵是否对称。

import numpy as np

S = np.array([[1, 8, -3],
              [8, 7,  4],
              [-3, 4, 9]])

# 检查对称性
is_symmetric = (S == S.T).all()

print(f"矩阵是对称的吗？ {is_symmetric}")

矩阵是对称的吗？ True

下面的图表展示了这些特殊矩阵类型之间的关系。

一张图表，展示了不同类型的方阵之间的关系。例如，单位矩阵是对角矩阵的一种更具体的形式。

其他值得注意的矩阵

另外两种值得了解的矩阵类型是三角矩阵和零矩阵。

• 上三角矩阵的主对角线下方所有元素均为零。
• 下三角矩阵的主对角线上方所有元素均为零。
• 零矩阵是任何大小的矩阵，只包含零元素。它作为加法单位元，意味着 $A + 0 = A$。

这些特殊矩阵构成了一个工具集，简化了线性代数和机器学习 (machine learning)中的许多问题。识别它们可以让你应用高效算法，并更好地理解数据结构。