动手实践：NumPy 矩阵运算

理论给出规则，而计算才是实际操作的环节。在 Python 代码中使用 NumPy 库执行矩阵运算，能够实际应用其底层原理。NumPy 是 Python 科学计算的根本，因为它提供高度优化的数组处理工具，这些工具非常适合表示向量和矩阵。

在本节中，你将学会如何进行我们讨论过的所有核心矩阵运算。掌握这些 NumPy 函数是必要的步骤，无论是从头开始实现机器学习模型，还是为 Scikit-learn 和 TensorFlow 等常用库妥善准备数据。

配置环境

首先，我们需要导入 NumPy 库。标准做法（你也应该一直遵循）是将其导入并使用别名 np。

import numpy as np

创建 NumPy 矩阵

我们通过调用 np.array() 并传入一个嵌套列表来创建矩阵，其中每个内部列表代表一行。让我们定义一些矩阵和一个向量，以用于我们的例子。

# 一个 2x3 矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], 
              [4, 5, 6]])

# 一个 3x2 矩阵
B = np.array([[7, 8], 
              [9, 10], 
              [11, 12]])

# 用于逐元素运算的 2x3 矩阵
C = np.array([[2, 4, 6], 
              [8, 10, 12]])

# 一个大小为 2 的向量（一维数组）
v = np.array([100, 200])

print("矩阵 A (2x3):\n", A)
print("\n矩阵 B (3x2):\n", B)
print("\n矩阵 C (2x3):\n", C)
print("\n向量 v:\n", v)

逐元素运算

逐元素运算是对矩阵间对应元素执行的。为了使这些运算生效，涉及的矩阵必须具有完全相同的维度。

矩阵加法和减法

你可以使用标准运算符 + 和 - 对同形状的矩阵进行加减。NumPy 会自动处理逐元素计算。

# 矩阵加法 (A 和 C 都是 2x3)
add_result = A + C
print("A + C:\n", add_result)

# 输出:
# A + C:
#  [[ 3  6  9]
#  [12 15 18]]

# 矩阵减法
subtract_result = C - A
print("C - A:\n", subtract_result)

# 输出:
# C - A:
#  [[1 2 3]
#  [4 5 6]]

尝试将 A（一个 2x3 矩阵）和 B（一个 3x2 矩阵）相加会导致 ValueError，因为它们的形状不兼容。

矩阵-标量乘法

要将矩阵的每个元素乘以一个数（标量），请使用 * 运算符。

# 将矩阵 A 乘以标量 10
scalar_mult_result = A * 10
print("A * 10:\n", scalar_mult_result)

# 输出:
# A * 10:
#  [[10 20 30]
#  [40 50 60]]

矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数中一项非常重要的运算。它不是逐元素运算，并且对矩阵维度有特别的规定。在 NumPy 中，你应该使用 @ 运算符进行矩阵乘法。

矩阵-向量乘法

矩阵乘以向量会改变向量。让我们使用矩阵 A 来转换向量 v。这是行不通的，因为内维度不匹配：A 的形状是 (2, 3)，v 的形状是 (2,)。我们需要 A 的列数等于 v 的元素数量。

让我们使用一个兼容的 2x2 矩阵 D 来乘以 v。

# 一个 2x2 矩阵
D = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

# 将 D (2x2) 乘以 v (2,)
# 结果形状将是 (2,)
mv_result = D @ v
print("矩阵 D:\n", D)
print("\n向量 v:\n", v)
print("\nD @ v:\n", mv_result)

# 输出:
# 矩阵 D:
#  [[1 2]
#  [3 4]]
#
# 向量 v:
#  [100 200]
#
# D @ v:
#  [ 500 1100]

进行的计算是第一个元素为 $(1 \cdot 100 + 2 \cdot 200)$，第二个元素为 $(3 \cdot 100 + 4 \cdot 200)$。

矩阵-矩阵乘法

要将两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。例如，我们可以将 A (2x3) 乘以 B (3x2)。结果矩阵的形状将是 (2x2)。

# 将 A (2x3) 乘以 B (3x2)
# 结果形状将是 (2x2)
mm_result = A @ B
print("A @ B:\n", mm_result)

# 输出:
# A @ B:
#  [[ 58  64]
#  [139 154]]

注意：初学者常犯的一个错误是使用 * 运算符进行矩阵乘法。在 NumPy 中，* 执行逐元素乘法。要使两个矩阵进行逐元素乘法，它们必须具有相同的形状。@ 运算符是在 Python 3.5 中专门为矩阵乘法引入的，是推荐的方法。

矩阵转置

转置矩阵是将其沿主对角线翻转，将行变成列，反之亦然。在 NumPy 中，你可以使用 .T 属性获取矩阵的转置。

# A (2x3) 的转置将是一个 3x2 矩阵
A_transpose = A.T
print("原始矩阵 A (2x3):\n", A)
print("\nA 的转置 (3x2):\n", A_transpose)

# 输出:
# 原始矩阵 A (2x3):
#  [[1 2 3]
#  [4 5 6]]
#
# A 的转置 (3x2):
#  [[1 4]
#  [2 5]
#  [3 6]]

创建特殊类型的矩阵

NumPy 提供了便捷的函数来创建线性代数中常用的矩阵。

单位矩阵

单位矩阵是一个对角线上全是 1，其余元素都是 0 的方阵。你可以使用 np.identity() 创建一个。

# 创建一个 3x3 单位矩阵
I = np.identity(3)
print("3x3 单位矩阵:\n", I)

# 输出:
# 3x3 单位矩阵:
#  [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]

将任何矩阵乘以一个兼容的单位矩阵，原矩阵保持不变。

# A 是 2x3，I 必须是 3x3 才能让 A @ I 生效
I_3x3 = np.identity(3)
result = A @ I_3x3

print("A @ I:\n", result)
print("\n结果与 A 相同吗?", np.array_equal(result, A))

# 输出:
# A @ I:
#  [[1. 2. 3.]
#  [4. 5. 6.]]
#
# 结果与 A 相同吗? True

对角矩阵

对角矩阵只有主对角线上有非零值。你可以使用 np.diag() 从列表或一维值数组中创建一个对角矩阵。

# 从值列表中创建一个对角矩阵
diag_matrix = np.diag([2, 5, 8])
print("对角矩阵:\n", diag_matrix)

# 输出:
# 对角矩阵:
#  [[2 0 0]
#  [0 5 0]
#  [0 0 8]]

你现在已经练习了 NumPy 中所有基本的矩阵运算。这些函数构成了你将反复用于数据处理和构建机器学习算法的工具集。在下一章中，我们将看到如何使用这些运算来解线性方程组。