矩阵转置

在学习了矩阵乘法之后，另一个你需要掌握的基本运算是转置。本质上，转置矩阵是一个简单的操作：它将矩阵沿其主对角线“翻转”。主对角线是从左上角延伸至右下角的一组元素。当你转置一个矩阵时，它的行变为列，列变为行。

如果你将矩阵视为表示一个数据集，其中行是数据样本，列是特征，那么转置操作有效地交换了这种表示方式。转置后，行将代表特征，列将代表数据样本。这种重新调整数据方向的能力出乎意料的有效，并常被用于数据预处理和机器学习算法的构建中。

转置机制

矩阵 $A$ 的转置记作 $A^T$。规则很简单： $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素变为 $A^T$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列的元素。如果原始矩阵 $A$ 的维度为 $m \times n$ (意即 $m$ 行 $n$ 列)，那么它的转置 $A^T$ 的维度将是 $n \times m$。

我们来看一个例子。考虑以下 $2 \times 3$ 矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

要找到它的转置 $A^T$，我们将 $A$ 的第一行 [1, 2, 3] 变为 $A^T$ 的第一列。然后将 $A$ 的第二行 [4, 5, 6] 变为 $A^T$ 的第二列。得到的矩阵是：

$$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

可以看到，维度已经从 $2 \times 3$ 翻转为 $3 \times 2$。下图展示了这种沿着主对角线的翻转操作。

主对角线元素（1和5）在转置过程中保持不变。其他元素则沿着这条对角线进行反射。

矩阵转置的性质

转置具有一些有用的代数性质，值得了解。对于任意矩阵 $A$ 和 $B$（具有兼容的形状）以及任意标量 $c$：

• 两次转置返回原矩阵： $(A^T)^T = A$。这很直观；如果你翻转矩阵，然后再翻转回来，就会回到起点。
• 和的转置等于转置的和： $(A + B)^T = A^T + B^T$。
• 乘积的转置会颠倒顺序： $(AB)^T = B^T A^T$。这一个不那么明显，但非常重要。当你对矩阵乘积进行转置时，也必须颠倒它们的乘法顺序。

为什么转置操作有用？

你可能会想，我们为什么需要这个操作。转置不仅仅是数学上的奇趣；它是重塑数据和实现计算的核心工具。

它的主要用途之一是使矩阵维度兼容以进行乘法。例如，两个列向量 $u$ 和 $v$ 之间的点积无法通过标准矩阵乘法计算，因为它们的形状（例如 $3 \times 1$ 和 $3 \times 1$）不兼容。然而，通过转置第一个向量，你可以将点积重写为矩阵乘法：

$$$$

这个表达式中，一个 $1 \times 3$ 矩阵乘以一个 $3 \times 1$ 矩阵，这是有效且会产生一个 $1 \times 1$ 的标量结果，这正是点积的定义。这种技术在机器学习中随处可见，尤其是在线性回归和神经网络的方程中。

在NumPy中转置矩阵

在 NumPy 中执行转置操作非常简单。NumPy 数组有一个 .T 属性，它返回矩阵的转置版本。你不需要特殊的函数；只需访问这个属性即可。

下面是如何在 Python 中创建一个矩阵及其转置：

import numpy as np

# 创建一个 2x4 矩阵 (2 行, 4 列)
A = np.array([
    [10, 20, 30, 40],
    [50, 60, 70, 80]
])

print("原始矩阵 A:")
print(A)
print("A 的形状:", A.shape)

# 使用 .T 属性获取转置
A_transpose = A.T

print("\n转置矩阵 A.T:")
print(A_transpose)
print("A.T 的形状:", A_transpose.shape)

输出:

原始矩阵 A:
[[10 20 30 40]
 [50 60 70 80]]
A 的形状: (2, 4)

转置矩阵 A.T:
[[10 50]
 [20 60]
 [30 70]
 [40 80]]
A.T 的形状: (4, 2)

代码证实了转置操作将数组的形状从 (2, 4) 翻转为 (4, 2)。这个简单的 .T 属性是你为机器学习模型准备数据时会经常使用的。它是一个基本工具，用于在将矩阵输入算法之前，正确地重塑和对齐矩阵。