向量范数：度量长度

尽管我们常把向量 (vector)看作空间中指向箭头的形式，但一个核心问题是：“这个箭头有多长？”这种“长度”或“大小”是向量的一个基本属性，在线性代数中，我们使用一个称为范数的函数来度量它。范数接收一个向量作为输入，并返回一个表示其大小的单一非负数。

理解范数之所以有帮助，是因为它们是许多机器学习 (machine learning)应用的根本，从度量模型预测中的误差到正则化 (regularization)模型以防止过拟合 (overfitting)。两种最常见的向量范数是L2范数和L1范数。

L2范数：欧几里得距离

L2范数是大多数人直观上所认为的“距离”。它计算向量 (vector)从原点到其终点的直线长度。你可能从几何学中记得这是勾股定理。对于一个二维向量 v = [x, y]，其L2范数是 $\sqrt{x^2 + y^2}$。这个思想可以扩展到任意维数。

向量 $v$ 具有 $n$ 个分量时的L2范数公式为：

$$||v||_2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$$

双竖线 $|| \cdot ||$ 是范数的标准记法，下标2表示这是L2范数。由于它非常常见，下标常被省略，所以如果你看到 $||v||$，它通常指代L2范数。

让我们以向量 $v = [3, 4]$ 为例。它的L2范数是：

$$||v||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

这表示向量的长度为5个单位。从几何上看，它构成了一个边长分别为3和4的直角三角形的斜边。

向量 $[3, 4]$ 的L2范数是从原点出发的直线距离，即5。

一个有趣的性质是L2范数与点积直接相关。一个向量的平方L2范数等于它与自身的点积： $||v||_2^2 = v \cdot v$。

L1范数：曼哈顿距离

L1范数提供了一种不同的度量向量 (vector)长度的方式。它不是度量直接的“直线距离”，而是将每个分量的绝对值相加。它常被称为曼哈顿范数或出租车距离。想象你身处一个拥有网格状街道布局的城市。你无法穿过建筑物（对角线移动）；你必须沿着街道（坐标轴）移动。

向量 $v$ 的L1范数公式为：

$$||v||_1 = |v_1| + |v_2| + \dots + |v_n| = \sum_{i=1}^{n} |v_i|$$

让我们使用相同的向量 $v = [3, 4]$。它的L1范数计算如下：

$$||v||_1 = |3| + |4| = 7$$

从几何上看，这是你只沿着x轴然后沿着y轴移动，从原点到达点 $(3, 4)$ 所走的总距离。

L1范数度量沿着坐标轴的路径。对于向量 $[3, 4]$，L1距离是7，而L2路径是5。

为什么不同的范数在机器学习 (machine learning)中有其应用价值

你可能想知道为什么我们需要不止一种方式来度量距离。在机器学习中，不同的范数具有不同的性质，使它们适用于特定任务。

• L2范数： 这是最常用于度量误差的范数。例如，在线性回归中，模型通常通过最小化误差向量 (vector)（预测值与实际值之间的差值）的L2范数来训练。这被称为最小化“平方误差和”。L2范数也用于一种称为岭回归的正则化 (regularization)方法，该方法会惩罚大的模型权重 (weight)，鼓励权重值小且分散的解。

• L1范数： L1范数也用于度量误差和进行正则化。一种称为Lasso回归的正则化方法使用L1范数来惩罚权重。L1范数有一个独特的性质：它倾向于产生稀疏解，这意味着它促使许多模型权重变为精确的零。这通过告知你哪些特征对预测没有影响，从而有效地执行特征选择。

使用NumPy计算范数

正如你所预料的，NumPy使用 numpy.linalg.norm() 函数提供了一种简单高效的方法来计算向量 (vector)范数。此函数默认计算L2范数，但你可以使用 ord 参数 (parameter)指定其他范数。

让我们用一个新向量 $v = [-5, 12]$ 来实际操作。

首先，计算L2范数： $||v||_2 = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

接下来，计算L1范数： $||v||_1 = |-5| + |12| = 5 + 12 = 17$

现在，让我们用NumPy验证这些结果。

import numpy as np

# 创建我们的示例向量
v = np.array([-5, 12])

# 计算L2范数（默认）
l2_norm = np.linalg.norm(v)

# 通过设置 ord=1 计算L1范数
l1_norm = np.linalg.norm(v, ord=1)

print(f"向量: {v}")
print(f"L2 范数 (欧几里得): {l2_norm}")
print(f"L1 范数 (曼哈顿): {l1_norm}")

输出：

Vector: [-5 12]
L2 Norm (Euclidean): 13.0
L1 Norm (Manhattan): 17.0

NumPy的结果与我们的手动计算完全符合。能够计算向量的“大小”是你在使用更复杂的机器学习 (machine learning)算法时将经常用到的一项核心能力。