正交向量

在上一节中，我们看到点积提供了一种方法来了解两个向量 (vector)之间的夹角。当这个夹角恰好是 90 度时，会出现一个特殊且非常有用的情况。这一特性是机器学习 (machine learning)和数据分析许多方面的核心。

如果两个非零向量相互垂直，则称它们为正交。在线性代数中，检验正交性的方法简单直接：它们的点积为零。

$$v \cdot w = 0$$

如果你计算两个向量的点积，结果为 0，你就知道它们是正交的。从几何角度看，这意味着它们指向相互成直角的方向。你可以将它们想象成首尾相接时形成一个完美的“L”形。

向量 $v$ 和 $w$ 是正交的，因为它们的点积是 $(2 \times -3) + (3 \times 2) = -6 + 6 = 0$。

这一关系是点积几何定义的直接结果：$v \cdot w = \|v\| \|w\| \cos(\theta)$。如果两个向量都具有非零长度（$\|v\| > 0$ 和 $\|w\| > 0$），则它们的点积为零的唯一情况是 $\cos(\theta) = 0$。当夹角 $\theta$ 为 90° 时，余弦函数为零，这证实了向量相互垂直。

正交性为何有价值

在机器学习 (machine learning)中，正交性是一个理想特性。当特征向量 (vector)正交时，这意味着它们是线性独立的。简单来说，它们表示相互独立、不冗余的数据。例如，如果我们要分析住房数据，表示“建筑面积”的向量和表示“卧室数量”的向量是相关的。它们不是正交的。然而，像主成分分析 (PCA) 这样的方法通过寻找一组新的正交向量来表示数据中最主要的信息，这可以简化模型并提升其性能。

使用 NumPy 检验正交性

我们可以方便地使用 NumPy 的 dot() 函数在 Python 中检验正交性。让我们定义图中所示的两个向量 (vector)，并计算它们的点积。

import numpy as np

# 定义两个正交向量
v = np.array([2, 3])
w = np.array([-3, 2])

# 计算点积
dot_product = np.dot(v, w)

print(f"向量 v: {v}")
print(f"向量 w: {w}")
print(f"v 和 w 的点积: {dot_product}")

输出：

向量 v: [2 3]
向量 w: [-3  2]
v 和 w 的点积: 0

正如预期的那样，结果为 0，证实了 v 和 w 是正交的。

现在我们尝试使用两个非正交向量。

# 定义两个非正交向量
p = np.array([1, 5])
q = np.array([2, 4])

# 计算点积
dot_product_pq = np.dot(p, q)

print(f"向量 p: {p}")
print(f"向量 q: {q}")
print(f"p 和 q 的点积: {dot_product_pq}")

输出：

向量 p: [1 5]
向量 q: [2 4]
p 和 q 的点积: 22

结果是 22，一个非零值，这表明这些向量不垂直。

关于浮点精度的一个说明

在使用计算机时，涉及浮点数（带小数的数字）的计算有时可能会出现微小的精度误差。你可能会遇到这样一种情况：两个向量 (vector)应该是正交的，但它们的点积结果却是一个非常小的数字，例如 1.4e-16，而不是精确的 0。

这是正常现象，发生的原因是计算机存储这些数字的方式。因此，通过测试结果是否精确为零来检验正交性是一种不建议的做法。

# 一个向量及其正交对应物
a = np.array([1/3, 2/3])
b = np.array([-2, 1])

dot_product_ab = np.dot(a, b)
print(f"点积: {dot_product_ab}")

# 此检验可能会失败！
is_orthogonal = (dot_product_ab == 0)
print(f"它们正交吗？(直接检验): {is_orthogonal}")

输出：

点积: -2.220446049250313e-16
它们正交吗？(直接检验): False

正确的方法是检验点积是否在一个小容差范围内接近零。NumPy 为此提供了 np.isclose() 函数。

# 检验正交性的正确方法
is_orthogonal_close = np.isclose(dot_product_ab, 0)

print(f"它们正交吗？(使用 np.isclose): {is_orthogonal_close}")

输出：

它们正交吗？(使用 np.isclose): True

使用 np.isclose() 可以让你的代码在应对浮点运算的局限性时更加可靠。这种做法将帮你避免在机器学习 (machine learning)项目中出现意外情况。