实战演练：NumPy 中的向量运算

将向量的基本运算转化为代码是实际应用中常见的需求。为了高效地完成这些运算，通常会使用 NumPy，它是 Python 中进行数值计算的标准库。

首先，我们来设置环境，导入 NumPy 库。我们通常遵循的惯例是将其导入并使用别名 np。

import numpy as np

在 NumPy 中创建向量

在 NumPy 中，向量表示为一维数组。你可以使用 np.array() 函数创建向量，传入一个 Python 列表即可。

# 创建两个向量 v 和 w
v = np.array([2, 1])
w = np.array([1, 3])

print(f"向量 v: {v}")
print(f"向量 w: {w}")

输出：

向量 v: [2 1]
向量 w: [1 3]

向量加法和减法

在 NumPy 中执行加法和减法很简单。该库重载了标准的 + 和 - 运算符，对相同形状的数组执行逐元素运算。

# 向量加法
v_plus_w = v + w
print(f"v + w = {v_plus_w}")

# 向量减法
v_minus_w = v - w
print(f"v - w = {v_minus_w}")

输出：

v + w = [3 4]
v - w = [ 1 -2]

这与我们讨论的代数规则相符。将 v 和 w 相加会得到一个新向量 $[2+1, 1+3] = [3, 4]$。从几何角度看，这个运算可以想象成将一个向量的尾部放在另一个向量的头部。所得向量连接起点和终点，形成一个三角形。

向量加法的几何解释。结果向量 v+w 是由 v 和 w 形成的平行四边形的对角线。

标量乘法

要将向量乘以标量，我们使用 * 运算符。这个运算会按比例改变向量的长度。乘以正标量会改变其大小，而负标量除了改变大小外，还会反转其方向。

# 定义一个向量和一个标量
u = np.array([3, 2])
s = 2.5

# 执行标量乘法
scaled_u = s * u
print(f"向量 u: {u}")
print(f"标量 s: {s}")
print(f"s * u = {scaled_u}")

输出：

向量 u: [3 2]
标量 s: 2.5
s * u = [7.5 5. ]

可以看到，向量 u 的每个元素都乘以了标量 s。所得向量 [7.5, 5] 方向与 u 相同，但长度是 u 的 2.5 倍。

点积

点积是线性代数中的一个核心运算，特别是在机器学习中。它给出一个单一的数值，与两个向量之间的夹角有关。NumPy 提供了几种方法来计算它。

np.dot() 函数是常用的方法：

v = np.array([2, 1])
w = np.array([1, 3])

# 使用 np.dot() 计算点积
dot_product = np.dot(v, w)
print(f"v 和 w 的点积是: {dot_product}")

输出：

v 和 w 的点积是: 5

计算方法是 $(2 \times 1) + (1 \times 3) = 2 + 3 = 5$。

另外，自 Python 3.5 起，你可以使用 @ 运算符，它专门用于矩阵乘法，也适用于向量的点积。这个运算符通常使代码更易读。

# 使用 @ 运算符计算点积
dot_product_operator = v @ w
print(f"使用 @ 运算符的点积是: {dot_product_operator}")

输出：

使用 @ 运算符的点积是: 5

向量范数：测量长度

向量的范数是其长度或大小的量度。np.linalg.norm() 函数是完成此任务的工具。默认情况下，它计算 $L_2$ 范数（欧几里得范数）。

u = np.array([3, 4])

# 计算 L2 范数（默认）
l2_norm = np.linalg.norm(u)
print(f"u 的 L2 范数是: {l2_norm}")

输出：

u 的 L2 范数是: 5.0

计算方法是 $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

要计算其他范数，例如 $L_1$ 范数（曼哈顿距离），你可以指定 ord 参数。

# 计算 L1 范数
l1_norm = np.linalg.norm(u, ord=1)
print(f"u 的 L1 范数是: {l1_norm}")

输出：

u 的 L1 范数是: 7.0

这是元素绝对值的和：$|3| + |4| = 7$。

检查正交向量

如果两个向量的点积为零，则它们是正交的。这是一个简单有效的方法。我们来定义两个应该是正交的向量并进行检查。

# 定义两个正交向量
vec1 = np.array([1, 0])
vec2 = np.array([0, 1])

# 计算它们的点积
dot_prod = vec1 @ vec2
print(f"vec1 和 vec2 的点积是: {dot_prod}")

输出：

vec1 和 vec2 的点积是: 0

点积为 0 确认它们是正交的。现在，我们尝试使用两个非正交向量。

# 定义两个非正交向量
vec3 = np.array([1, 1])
vec4 = np.array([1, -0.5])

# 计算它们的点积
dot_prod_non_ortho = vec3 @ vec4
print(f"vec3 和 vec4 的点积是: {dot_prod_non_ortho}")

输出：

vec3 和 vec4 的点积是: 0.5

由于结果不为零，向量 vec3 和 vec4 不是正交的。

应用：找出两个向量之间的夹角

我们可以组合这些运算来解决有趣的问题。例如，我们可以找出两个向量之间的夹角 $\theta$，使用从点积定义中导出的公式：

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\|}$$

这意味着：

$$\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\|}\right)$$

让我们在 NumPy 中实现这一点。

v = np.array([2, 1])
w = np.array([1, 3])

# 计算点积
dot_vw = v @ w

# 计算范数
norm_v = np.linalg.norm(v)
norm_w = np.linalg.norm(w)

# 计算夹角的余弦值
cos_theta = dot_vw / (norm_v * norm_w)

# 计算弧度制下的夹角
angle_rad = np.arccos(cos_theta)

# 转换为度数以便于理解
angle_deg = np.degrees(angle_rad)

print(f"点积: {dot_vw:.2f}")
print(f"v 的范数: {norm_v:.2f}")
print(f"w 的范数: {norm_w:.2f}")
print(f"v 和 w 之间的夹角（弧度）: {angle_rad:.2f}")
print(f"v 和 w 之间的夹角（度数）: {angle_deg:.2f}")

输出：

点积: 5.00
v 的范数: 2.24
w 的范数: 3.16
v 和 w 之间的夹角（弧度）: 0.64
v 和 w 之间的夹角（度数）: 36.87

这个实战例子表明点积和范数如何一起作用，以提供有意义的几何信息。掌握这些 NumPy 运算是实现更高级机器学习算法的第一步。