矩阵：以网格形式组织数据

虽然向量 (vector)非常适合表示带有多个特征的单个数据点，但机器学习 (machine learning)模型很少只用一个例子进行训练。我们需要一种方法来整理整个数据点集合，为此我们选用矩阵。

矩阵是由行和列组成的数字矩形网格。你可以把它看作向量的一种扩展。如果向量是一个数字列表，那么矩阵就是将多个列表堆叠在一起。这种结构对于机器学习中表示数据集必不可少。

矩阵的构成

假设我们要建立一个预测房价的模型。我们收集了几栋房屋的数据。每栋房屋都是一个样本，对于每个样本，我们记录了几个特征，例如它的面积、卧室数量和房龄。我们可以用一个特征向量 (vector)来表示每栋房屋：

• 房屋 1: [1500, 3, 10] (1500 平方英尺, 3 卧室, 10 年房龄)
• 房屋 2: [2100, 4, 5] (2100 平方英尺, 4 卧室, 5 年房龄)
• 房屋 3: [1200, 2, 20] (1200 平方英尺, 2 卧室, 20 年房龄)

为了整理这个完整的数据集，我们可以将这些行向量堆叠在一起，形成一个矩阵。

整理成矩阵的数据集。每一行对应一个数据样本（一栋房屋），每一列对应一个特定的特征。

在这个矩阵中：

• 行水平排列，表示单个数据样本或观测值。我们的矩阵有 3 行。
• 列垂直排列，表示数据的不同特征。我们的矩阵有 3 列。

矩阵的维度或形状由其行数和列数给出。我们将其描述为“$m imes n$”矩阵，其中 $m$ 是行数，$n$ 是列数。例如，表示房屋数据的矩阵可能是一个 $3 imes 3$ 矩阵。

矩阵的数学记法

在线性代数中，我们通常用大写字母表示矩阵，例如 $A$。要指代矩阵中的特定元素，我们使用下标。矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素表示为 $A_{ij}$ 或 $a_{ij}$。请记住约定：先行后列。

对于我们的房屋数据矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1500 & 3 & 10 \\ 2100 & 4 & 5 \\ 1200 & 2 & 20 \end{bmatrix}$$

• 元素 $A_{1,1}$ 是 $1500$ (第一行，第一列)。
• 元素 $A_{2,3}$ 是 $5$ (第二行，第三列)。
• 元素 $A_{3,1}$ 是 $1200$ (第三行，第一列)。

机器学习 (machine learning)中的标准约定

这种每行一个样本、每列一个特征的排列方式是机器学习中的标准约定。这个数据矩阵通常称为特征矩阵，并常用变量 $X$ 表示。

我们想要预测的值，例如每栋房屋的价格，通常存储在一个单独的列向量 (vector)中。这通常称为目标向量，并用变量 $y$ 表示。

对于我们的例子，特征矩阵 $X$ 就是我们已经看到的矩阵，而目标向量 $y$ 可能包含相应的价格：

$$X = \begin{bmatrix} 1500 & 3 & 10 \\ 2100 & 4 & 5 \\ 1200 & 2 & 20 \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} 300000 \\ 450000 \\ 220000 \end{bmatrix}$$

这种特征 ($X$) 和目标 ($y$) 的结构化表示是几乎所有监督机器学习算法的输入。通过将数据整理成矩阵和向量，我们可以运用线性代数的强大运算来分析关联并建立预测模型。接下来，我们将准备好环境，使用 Python 创建和操作这些对象。