KNN 的运作方式

K近邻（KNN）算法在分类时采用一种直接且基于实例的方法。这种方法与逻辑回归等算法形成对比，后者旨在学习特定函数（例如Sigmoid）来定义决策边界。KNN常被称为“惰性学习器”，因为它在训练阶段并没有真正建立一个明确的模型。相反，它会记住整个训练数据集。实际的分类工作发生在其被要求对一个新的、未见过的数据点进行分类时。

以下是KNN对新数据点进行分类的逐步过程：

1. 选择K： 首先，你需要确定'K'的值，它表示要考虑的邻居数量。这是你作为实践者预先设定的一个数值（使其成为一个超参数 (parameter) (hyperparameter)，正如我们在第2章中讨论过的）。假设你选择$K=3$。

2. 计算距离： 当一个新的数据点出现时（我们称之为查询点），KNN会计算该查询点与存储的训练数据集中每一个数据点之间的距离。衡量这种距离的常用方法是使用标准欧几里得距离，它本质上是特征空间中两点之间的直线距离。如果你在$n$维空间中有两个点$p$和$q$，欧几里得距离计算如下： $d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \dots + (p_n - q_n)^2}$ 或更简洁地： $d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(p_i - q_i)^2}$ 虽然欧几里得距离很常见，但有时也可以根据数据使用其他距离度量方法。核心思想是根据新点与每个训练点的特征，量化 (quantization)它们的“相似”或“接近”程度。

3. 找出K个最近邻居： 一旦所有距离都计算完毕，算法会找出与查询点距离最小的'K'个训练数据点。这些就是它的“最近邻居”。如果我们选择$K=3$，KNN会找出距离新点最近的3个训练点。

4. 多数投票： 现在，查看这'K'个最近邻居的类别标签。KNN在这些邻居中进行简单的多数投票。K个邻居中最常见的类别将成为新查询点的预测类别。例如，如果$K=3$，并且两个邻居属于A类，一个属于B类，则新点将被分类为A类。如果$K=5$，并且三个邻居是B类，两个是A类，则预测为B类。

5. 分配类别： 投票结果就是新数据点的最终分类。

让我们将其可视化。想象我们有根据两个特征绘制的属于两个类别（A类为蓝色，B类为橙色）的数据点。一个新的、未分类的点（绿色星形）出现。如果我们设置$K=5$，KNN会找出距离星形最近的5个训练点。

K=5的KNN示例。绿色星形是新点。算法找出5个最近的点（用紫色圈出）。四个邻居是B类（橙色），一个邻居是A类（蓝色）。通过多数投票，KNN将新点分类为B类。

这就是核心机制。'K'的选择很重要。小的'K'（例如$K=1$）会使模型对噪声或异常值非常敏感；分类结果可能仅凭一个距离很近、可能异常的点就显著改变。非常大的'K'会使决策边界更平滑，但可能会模糊局部模式，或者根据数据集中整体的多数类别对点进行分类，而忽略附近的点。选择合适的'K'通常需要尝试多个值，并查看哪个在独立的验证数据集上表现最佳（这是我们在第2章中提及的一个原理，并将再次讨论）。

因为KNN高度依赖距离计算，所以所有特征都处于可比较的尺度也很重要。这就是为什么特征缩放（我们将在第6章介绍）在使用KNN之前通常是一个必要的预处理步骤。如果特征值过大且未正确缩放，它们可能会不成比例地影响距离计算。