线性回归如何学习

线性回归旨在找到一条直线，以最好地表示输入特征（我们称之为 $x$）与连续输出值（$y$）之间的关系。这条线的方程通常写为：

$y = mx + b$

这里，$m$ 代表直线的斜率（$x$ 每增加一个单位，$y$ 的变化量），$b$ 是 y 轴截距（当 $x$ 为零时，$y$ 的值）。但是，算法实际如何确定 $m$ 和 $b$ 的具体值，从而为我们的数据找到“最佳”直线呢？这就是“学习”的部分。

可以把它想象成调音器乐。你调整调音旋钮（参数 (parameter) $m$ 和 $b$），直到声音（与数据的拟合度）恰到好处。

目标：最小化误差

“最佳”直线并非主观判断；在机器学习 (machine learning)中，“最佳”通常指使其预测值与实际数据点之间的总误差最小的直线。想象一下，你的数据点已经绘制在图上。对于任何给定的直线 $y = mx + b$，你可以计算：

1. 预测值： 对于每个实际数据点 $(x_i, y_i)$，将 $x_i$ 值代入直线方程，得到一个预测值，我们称之为 $\hat{y}_i = mx_i + b$。
2. 误差（残差）： 计算实际值 $y_i$ 与预测值 $\hat{y}_i$ 之间的差值。这个差值，$y_i - \hat{y}_i$，就是该特定点的误差或残差。它本质上是数据点与图上直线之间的垂直距离。

线性回归算法的目标是找到 $m$ 和 $b$ 的值，使得所有数据点的总误差尽可能小。

这张图显示了样本数据点、直线的初始猜测以及经过学习过程后更好地拟合数据的直线。目标是找到像绿线那样的直线。

学习方式：迭代调整

计算机不擅长像人类有时那样“直接看到”最佳直线。相反，线性回归等算法使用迭代过程：

1. 初始化： 从参数 (parameter) $m$ 和 $b$ 的一些初始猜测开始。这些可以是随机值，或者简单地设为零（$m=0, b=0$）。这为我们提供了一条初始直线。
2. 误差计算： 使用所有数据点计算当前直线的总误差。我们需要一种精确的方法来测量这个总误差，这正是成本函数的作用所在（我们将在下一节详细介绍）。目前，只需知道它会给出一个单一的数字，表示当前直线拟合的“好坏”程度。
3. 参数更新： 根据计算出的误差，算法智能地调整 $m$ 和 $b$ 的值。重要的是要朝减小总误差的方向调整它们。可以把它想象成轻微地推动斜率和截距，使直线拟合得更好。
4. 重复： 带着新的 $m$ 和 $b$ 值返回步骤2。计算新的、希望更小的误差。再次更新参数。多次重复此过程。

每次迭代，直线应逐渐接近最佳拟合，总误差也应减小。这个过程持续到误差足够小，或者 $m$ 和 $b$ 的变化变得可以忽略不计，这意味着算法已经收敛到它能找到的最佳值。

在步骤3中，常用于确定如何调整 $m$ 和 $b$ 的具体数学技术称为梯度下降 (gradient descent)，我们将在本章稍后介绍。目前，重要的是这种测量误差并调整参数以最小化该误差的迭代过程。这就是线性回归从你提供的数据中“学习”最佳直线的方式。