通用 GNN 层：聚合与更新

图神经网络 (neural network)的核心思想是学习一个函数，为每个节点生成新的特征向量 (vector)或“嵌入 (embedding)”（embedding）。这个新的嵌入是由节点自身的特征及其直接邻居的特征推导出来的。这一过程通常被称为“邻域聚合”，可以通过将单个 GNN 层分解为两个不同的步骤来形式化：**聚合（AGGREGATE）步骤和更新（UPDATE）**步骤。

这个两步过程是几乎所有现代 GNN 的基本计算模块。首先，一个节点收集来自其所有直接邻居的特征向量。然后，它利用这些聚合后的信息，结合其自身的当前特征向量，计算出下一层的新特征向量。

中心节点 $v$ 的两步消息传递过程示意图。来自邻居 $u_1, u_2, u_3$ 的信息首先在“聚合”步骤中结合，其结果随后在“更新”步骤中与节点自身的信息结合，从而生成新的表示 $v'$。

让我们更仔细地观察这些步骤。

聚合（AGGREGATE）函数

设计图神经网络 (neural network)的首要挑战是节点的邻居数量是可变的。社交网络中的一个节点可能有两名好友，也可能有两千名。标准的神经网络层（如全连接层）需要固定大小的输入向量 (vector)。我们该如何处理任意数量的邻居向量呢？

**聚合（AGGREGATE）**函数解决了这个问题。它的任务是接收一组邻居特征向量 $\{ \mathbf{h}_u^{(l)} : u \in \mathcal{N}(v) \}$，并将它们合并为一个单一的、固定大小的向量。这个向量充当了节点整个邻域的摘要。

$$\mathbf{m}_{\mathcal{N}(v)}^{(l)} = \text{聚合}^{(l)} \left( \{ \mathbf{h}_u^{(l)} : u \in \mathcal{N}(v) \} \right)$$

在这里，$\mathbf{m}_{\mathcal{N}(v)}^{(l)}$ 表示在第 $l$ 层从节点 $v$ 的邻域聚合而来的“消息”。

聚合函数的一个基本属性是它必须是**置换不变性（permutation invariant）**的。这意味着无论邻居向量出现的顺序如何，该函数都应产生相同的输出。简单的求和（sum）、平均值（mean）或最大值（max）运算是常见的选择，因为它们天然具备这种属性。我们将在下一节讨论这些选项。

更新（UPDATE）函数

一旦我们得到了代表邻域消息的单一向量 (vector)，**更新（UPDATE）**步骤就负责为下一层创建节点的新特征向量 $\mathbf{h}_v^{(l+1)}$。

该函数有两个输入：

1. 节点在当前层的特征向量 $\mathbf{h}_v^{(l)}$。
2. 来自聚合步骤的邻域聚合消息 $\mathbf{m}_{\mathcal{N}(v)}^{(l)}$。

$$\mathbf{h}_v^{(l+1)} = \text{更新}^{(l)} \left( \mathbf{h}_v^{(l)}, \mathbf{m}_{\mathcal{N}(v)}^{(l)} \right)$$

在这一步中包含节点自身的表示 $\mathbf{h}_v^{(l)}$ 非常有用。如果我们只使用聚合后的消息，节点就会丢失其原始信息，完全变成其周围环境的反映。通过结合现有状态和传入的消息，GNN 允许节点既保留自身特征，又整合来自局部图结构的信息。更新函数通常实现为标准的神经网络 (neural network)层，往往是一个线性变换后接一个非线性激活函数 (activation function)（如 ReLU）。

通用 GNN 层公式

通过结合这两个步骤，我们得到了消息传递 GNN 中单层计算的通用公式。该等式描述了任何节点 $v$ 的特征向量 (vector)在通过第 $l$ 层以产生第 $l+1$ 层输出时是如何变换的。

$$\mathbf{h}_v^{(l+1)} = \text{更新}^{(l)} \left( \mathbf{h}_v^{(l)}, \text{聚合}^{(l)} \left( \{ \mathbf{h}_u^{(l)} : u \in \mathcal{N}(v) \} \right) \right)$$

让我们拆解每个组成部分：

• $\mathbf{h}_v^{(l)}$ 是节点 $v$ 在当前第 $l$ 层的特征向量（或隐藏状态）。
• $\mathcal{N}(v)$ 是节点 $v$ 的所有邻居节点的集合。
• 聚合函数（如 mean 或 sum）将所有邻居的特征向量 $\{ \mathbf{h}_u^{(l)} \}$ 压缩为一个向量。
• 更新函数（通常是带有可学习参数 (parameter)的神经网络 (neural network)）将节点自身的向量 $\mathbf{h}_v^{(l)}$ 与聚合后的邻居向量相结合。
• $\mathbf{h}_v^{(l+1)}$ 是最终输出：节点 $v$ 在下一层 $l+1$ 的新特征向量。

对聚合和更新函数的具体选择，决定了 GCN、GraphSAGE 和 GAT 等不同 GNN 架构的区别。GNN 的可学习参数包含在这两个函数中。通过这一机制处理图中的所有节点，并堆叠多个此类层，GNN 就能从图结构中学习到复杂的模式。