边缘检测的Sobel算子

图像中的边缘代表像素强度有明显变化。试想一个深色物体与浅色背景之间的界线，那条界线就是边缘。找出这些边缘是了解图像构成的重要一步。但是，我们如何从数学上识别这些突然的变化呢？

Sobel算子是一种常用且非常重要的方法，它通过计算每个像素点的图像强度梯度来实现其功能。

理解图像梯度

什么是图像梯度？简单来说，梯度测量的是图像中特定位置像素强度变化的快慢程度。梯度幅度大意味着强度变化快，这通常表明存在边缘。梯度幅度小意味着强度相对稳定，就像在颜色均匀区域的中间那样。

梯度包含两个组成部分：

1. 水平方向（x方向）上的变化： 当你从左到右移动时，像素值变化有多快？
2. 垂直方向（y方向）上的变化： 当你从上到下移动时，像素值变化有多快？

Sobel算子提供了一种方法，使用称为核或滤波器的小型数学工具来近似这些变化。

Sobel核

Sobel算子使用两个3x3的核。一个核检测水平方向的变化（$G_x$），另一个检测垂直方向的变化（$G_y$）。

它们看起来是这样的：

用于水平变化的核（$K_x$）：

-1  0  +1
-2  0  +2
-1  0  +1

注意这个核如何突出左右列之间的差异。中间列为零，从而在水平计算中忽略了中心像素正上方和正下方的像素。与顶部和底部行相比，中间行（-2, 0, +2）的权重 (weight)更大。

用于垂直变化的核（$K_y$）：

-1 -2 -1
 0  0  0
+1 +2 +1

类似地，这个核突出底部和顶部行之间的差异，在垂直计算中忽略中心像素正左和正右的像素。

应用核（卷积）

为了计算特定像素的梯度，我们使用一个称为卷积的过程。想象将$K_x$核的中心放在原始图像中的该像素上方。然后，你将核的值乘以被核覆盖的图像区域中对应的下方像素强度。最后，将所有这些乘积相加。这个和就是该中心像素的近似水平梯度（$G_x$）。

你对图像中的每个像素重复此过程，使用$K_x$核来获得水平梯度图。然后，你再次进行整个相同的过程，但这次使用$K_y$核，以获得垂直梯度图（$G_y$）。

计算边缘强度

现在我们为每个像素提供了两个值：$G_x$（水平变化）和$G_y$（垂直变化）。为了找出该像素处边缘的总体“强度”或幅度，我们将这两个值组合起来。最常用的方法是使用欧几里得距离公式：

$$G = \sqrt{G_x^2 + G_y^2}$$

这个值$G$就是梯度幅度。$G$的值越大，表明该像素处的边缘越强。

有时，为了计算效率，会使用一个更简单的近似方法：

$$G \approx |G_x| + |G_y|$$

应用Sobel算子的结果通常是一个新的灰度图像，其中每个像素的强度对应于其梯度幅度$G$。输出图像中的亮像素代表强度变化大的区域（可能是边缘），而暗像素代表变化很小的区域。

Sobel算子通过估计图像梯度幅度，提供了一种找出边缘的简单方法。Sobel输出图像中较亮的区域对应于更强的潜在边缘。

虽然Sobel算子在突出边缘方面有效，但其输出有时会产生较粗的边缘，并且对图像中的噪声敏感。它常作为更复杂的边缘检测算法中的重要一步，例如接下来要讨论的Canny边缘检测器。