几何变换：旋转与平移

除了改变图像大小（缩放）之外，我们也常需要在图像帧内调整其方向或位置。实现此目的的两种基本几何变换是旋转和平移。这些操作改变像素的空间关系，而不一定改变它们的强度值（尽管插值可能会略微改变）。它们对于图像对齐 (alignment)、校正相机倾斜或为非旋转不变的识别算法准备数据等任务非常重要。

旋转和平移都是仿射变换的例子。这意味着它们保持点、直线和平面不变。经过仿射变换后，平行线依然平行。这些操作通常在OpenCV等库中使用单个函数来执行，通常是通过定义一个变换矩阵。

旋转图像

旋转是指图像绕着一个称为旋转中心的固定点，按一定角度进行转动。

• 旋转中心：此点定义了图像旋转的枢轴。通常是图像的中心，但您可以选择任意点 (x, y)。
• 角度：指定图像旋转的量，通常以度为单位。正角度通常对应逆时针旋转，而负角度表示顺时针旋转（尽管库约定可能有所不同，因此请务必查阅文档）。
• 缩放（可选）：有时旋转函数也允许同时进行均匀缩放（放大或缩小）。缩放因子为 1.0 意味着不缩放。

当您旋转图像时，特别是旋转角度不是90度倍数时，原始的矩形像素网格会被映射到新的位置。这会引出两个需要考虑的问题：

1. 新像素位置：原始像素 $(x, y)$ 的强度值在旋转后会到哪里？这可以通过三角学计算，通常封装在旋转矩阵中。对于绕原点 (0,0) 逆时针旋转角度 $\theta$，新坐标 $(x', y')$ 与旧坐标 $(x, y)$ 的关系如下：

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

   当绕着不同的中心旋转时，平移操作会与此旋转结合。

2. 空白区域与插值：在图像帧内旋转矩形图像，通常会留下一些空白区域，这些区域没有原始像素直接映射。此外，计算出的新坐标 $(x', y')$ 可能会落在输出网格的像素位置之间。我们需要一种方法来确定输出图像中整数网格位置的像素值。这个过程称为插值。常见的方法包括：

   • 最近邻插值：分配最接近的原始像素的值。速度快，但可能产生块状结果。
   • 双线性插值：根据四个最近的原始像素的加权平均值计算值。结果更平滑，通常更受欢迎。

OpenCV等库会处理这些计算。您通常提供图像、旋转中心、角度和可选的缩放因子。库会计算所需的变换矩阵并应用它，使用您通常可以指定的插值方法。

# 使用OpenCV的例子（细节取决于库版本）
import cv2
import numpy as np

# 假设图像已加载（例如，使用cv2.imread）
rows, cols = image.shape[:2]

# 旋转中心：图像中心
center = (cols / 2, rows / 2)
# 角度：逆时针45度
angle = 45
# 缩放：1.0（不缩放）
scale = 1.0

# 计算旋转矩阵
M_rotate = cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)

# 使用warpAffine应用旋转
# 第三个参数是输出图像大小（宽度，高度）
rotated_image = cv2.warpAffine(image, M_rotate, (cols, rows))

# 'rotated_image' 现在是旋转后的版本

平移图像

平移更简单：它涉及图像在水平、垂直或两个方向上的移动。想象一下在屏幕上滑动图像，而不旋转或调整大小。

• 位移参数 (parameter)：您需要指定x方向 ($t_x$) 和y方向 ($t_y$) 的位移量。
  • 正的 $t_x$ 将图像向右移动。
  • 正的 $t_y$ 将图像向下移动。
  • 负值则分别向左和向上移动。

变换是直观的：原始位置在 $(x, y)$ 的每个像素都会移动到新位置 $(x', y')$，其中：

$$x' = x + t_x \\ y' = y + t_y$$

这可以用平移矩阵表示。为了配合OpenCV的 warpAffine 等函数（它需要一个用于仿射变换的2x3矩阵），平移矩阵如下所示：

$$M_{translate} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \end{pmatrix}$$

在这里，$t_x$ 和 $t_y$ 直接表示水平和垂直位移。

像旋转一样，平移也可能使图像部分移出可见帧，并产生需要填充的空白区域（通常用黑色或某种其他指定的背景颜色）。

# 使用OpenCV的例子
import cv2
import numpy as np

# 假设图像已加载
rows, cols = image.shape[:2]

# 位移量：向右50像素，向下20像素
tx = 50
ty = 20

# 定义平移矩阵
M_translate = np.float32([[1, 0, tx],
                          [0, 1, ty]])

# 使用warpAffine应用平移
# 第三个参数是输出图像大小（宽度，高度）
translated_image = cv2.warpAffine(image, M_translate, (cols, rows))

# 'translated_image' 现在是平移后的版本

结合变换与 warpAffine

正如示例所示，OpenCV的 cv2.warpAffine 等函数功能多样。它们接受一个2x3的变换矩阵 M，并将相应的仿射变换（可以是旋转、平移、缩放、剪切或它们的组合）应用于输入图像。

2x3矩阵 M 的一般形式是：

$$M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (1-\alpha) c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (1-\alpha) c_y \end{pmatrix}$$

其中变换结合了 $\alpha$ 的缩放，$\theta$ 的旋转（其中 $\alpha = scale \cdot \cos\theta$, $\beta = scale \cdot \sin\theta$），以及相对于中心 $(c_x, c_y)$ 的平移。然而，您通常不会手动构建此矩阵。相反，您会使用 cv2.getRotationMatrix2D 等辅助函数进行旋转（它包含中心和比例），或像上面所示直接定义简单的平移矩阵。然后 warpAffine 函数应用矩阵 M 定义的变换，将像素从源图像映射到目标图像，并在必要时使用插值。

掌握旋转和平移对于图像几何处理非常重要。这些操作是图像对齐 (alignment)、机器学习 (machine learning)中的数据增强（创建略微修改的训练图像）以及校正透视失真的构建模块。在本章后面的实践部分，您将亲自应用这些变换。