过滤方法：方差阈值

过滤方法提供了一种计算成本较低的方式，在将特征输入机器学习 (machine learning)模型之前对其进行修剪。它们评估特征的固有属性，通常使用统计度量，而不考虑最终将使用的预测模型。最简单的过滤技术之一是基于特征方差的。

方差阈值处理的原理

方差阈值处理的核心思想直观明了：在数据集中变化很小的特征不太可能提供有效信息。如果一个特征对于几乎所有样本都具有相同的值，那么它提供的用于区分样本的信息将非常少。在极端情况下，方差为零的特征在所有样本中都是恒定的，显然无法帮助模型进行预测。

移除低方差特征是一个基本的数据清理步骤。通过消除恒定或接近恒定的特征，我们可以降低数据集的维度，可能加快模型训练并降低复杂性，而不会显著影响性能。

计算方差

回想一下，特征 $X$ 的方差衡量其值相对于均值 ($\mu$) 的离散程度。其计算方式如下：

$\text{方差}(X) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2$

这里 $N$ 是样本数量，而 $x_i$ 是第 $i$ 个样本的特征值。方差接近零表明数据点紧密地聚集在均值附近。

对于二元特征（取值 0 或 1），方差计算为 $p(1-p)$，这里 $p$ 是取值为 1 的样本比例。如果 $p$ 接近 0 或 1（这意味着特征几乎总是 0 或几乎总是 1），方差将接近 0。

在 Scikit-learn 中实现方差阈值

Scikit-learn 在其 feature_selection 模块中提供了 VarianceThreshold 转换器以实现此目的。

import pandas as pd
from sklearn.feature_selection import VarianceThreshold

# 包含低方差特征的样本数据
data = {
    'feat1': [0.1, 0.12, 0.09, 0.11, 0.1], # 低方差数值特征
    'feat2': [10, 12, 9, 110, 50],        # 高方差数值特征
    'feat3': [0, 0, 0, 0, 0],             # 零方差（常数）
    'feat4': [1, 1, 1, 1, 0],             # 低方差二元特征（大多为1）
    'feat5': [0, 1, 0, 1, 0]              # 较高方差二元特征
}
df = pd.DataFrame(data)

print("原始 DataFrame:")
print(df)
print("\n方差:")
print(df.var())

# 1. 移除零方差特征（默认阈值=0）
selector_zero = VarianceThreshold(threshold=0.0)
df_zero_removed = selector_zero.fit_transform(df)
# 获取选定列的名称
cols_zero_removed = selector_zero.get_feature_names_out(input_features=df.columns)
df_zero_removed = pd.DataFrame(df_zero_removed, columns=cols_zero_removed)

print("\n移除零方差特征后的 DataFrame:")
print(df_zero_removed)

# 2. 移除方差低于特定阈值（例如，0.1）的特征
# 注意：对于非布尔特征，如果它们处于不同的尺度上，请先考虑进行缩放。
# 这里，我们直接应用它作为演示。
selector_low = VarianceThreshold(threshold=0.1) # 示例阈值
df_low_removed = selector_low.fit_transform(df)
cols_low_removed = selector_low.get_feature_names_out(input_features=df.columns)
df_low_removed = pd.DataFrame(df_low_removed, columns=cols_low_removed)


print("\n移除方差 < 0.1 的特征后的 DataFrame:")
print(df_low_removed)

输出：

Original DataFrame:
   feat1  feat2  feat3  feat4  feat5
0   0.10     10      0      1      0
1   0.12     12      0      1      1
2   0.09      9      0      1      0
3   0.11    110      0      1      1
4   0.10     50      0      0      0

Variances:
feat1       0.000130
feat2    1813.200000
feat3       0.000000
feat4       0.160000
feat5       0.240000
dtype: float64

DataFrame after removing zero-variance features:
  feat1   feat2  feat4  feat5
0  0.10   10.0    1.0    0.0
1  0.12   12.0    1.0    1.0
2  0.09    9.0    1.0    0.0
3  0.11  110.0    1.0    1.0
4  0.10   50.0    0.0    0.0

DataFrame after removing features with variance < 0.1:
    feat2  feat4  feat5
0   10.0    1.0    0.0
1   12.0    1.0    1.0
2    9.0    1.0    0.0
3  110.0    1.0    1.0
4   50.0    0.0    0.0

在第一步中，使用默认 threshold=0.0，VarianceThreshold 找到并移除了 feat3，因为它是一个常数特征。

在第二步中，将 threshold 设置为 0.1，它移除了 feat1（方差约 0.00013）和 feat3（方差 0），保留了 feat2、feat4 和 feat5，因为它们的方差高于 0.1。

注意事项与局限性

• 尺度依赖性： 方差高度依赖于特征的尺度。一个取值范围在 0 到 1 之间的特征，其方差自然会比取值范围在 0 到 1,000,000 之间的特征小得多，即使两者相对于各自的尺度而言具有同等的“信息量”。通常建议在应用非零阈值的 VarianceThreshold 之前，先对特征进行缩放（例如，使用 StandardScaler 或 MinMaxScaler）。 否则，你可能会因为特征单位导致数值较小而错误地舍弃它们。默认的阈值 0（移除常数特征）不需要事先缩放。
• 阈值选择： 设置非零阈值需要仔细考虑。没有普适的“正确”阈值。你可以检查特征的方差，并根据它们的分布来决定。对于布尔特征，像 $p(1-p)$ 这样的阈值，其中 $p$ 是一个小的比例（例如，阈值 = $0.01 \times (1 - 0.01) = 0.0099$），可以移除对于不到 1% 或超过 99% 样本为真的特征。然而，这是一种启发式方法。
• 忽略目标变量： 这是过滤方法的一个基本特点。VarianceThreshold 只查看特征 ($X$) 本身的方差；它不考虑特征与目标变量 ($y$) 之间的任何关系。在少数情况下，低方差特征仍可能具有预测性。反之，高方差特征可能与目标完全无关。

方差阈值处理作为一种基本的合理性检查和预处理步骤，对于快速移除明显无信息量的特征（尤其是常数特征）很有用。它通常用作在应用更复杂的特征选择技术之前的初步筛选。