定义马尔可夫链

前向扩散过程将初始数据点（例如清晰图像 $x_0$）在一系列离散时间步 $t=1, 2, ..., T$ 中逐渐损坏成噪声。这种有序的损坏并非随意；它遵循一种特定的概率模型，称为马尔可夫链。

马尔可夫链是一个随机变量序列，其中转移到下一状态的概率仅取决于当前状态，而不取决于之前的事件序列。在我们这里，这些“状态”是数据逐渐增噪的版本：$x_0, x_1, x_2, ..., x_T$。其决定性特征是，要得到 $x_t$，我们只需要知道 $x_{t-1}$ 以及在步骤 $t$ 添加噪声的规则。我们不需要直接知道 $x_{t-2}$ 或任何更早的状态。

我们可以这样表示这个序列：

$$x_0 \rightarrow x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow \dots \rightarrow x_{t-1} \rightarrow x_t \rightarrow \dots \rightarrow x_T$$

这里：

• $x_0$ 是从真实数据分布 $q(x_0)$ 中取出的原始数据样本。
• $x_t$ 是经过 $t$ 步加噪后，在时间步 $t$ 的数据样本。
• $x_T$ 是经过 $T$ 步后的最终状态，理想情况下它类似于纯高斯噪声。

从一个状态 $x_{t-1}$ 到下一个状态 $x_t$ 的转移由条件概率分布定义，记作 $q(x_t | x_{t-1})$。这个分布规定了在给定 $x_{t-1}$ 的情况下如何采样 $x_t$。因为这个过程只取决于前一个状态，它满足马尔可夫性质：

$$q(x_t | x_{t-1}, x_{t-2}, \dots, x_0) = q(x_t | x_{t-1})$$

这个性质极大简化了前向过程的分析和实现。我们不需要追踪整个加噪历史来确定下一状态；只需要紧邻的前一个状态。

从视觉上看，我们可以描绘出这种依赖链：

前向扩散过程被建模为马尔可夫链。每个箭头表示一个转移 $q(x_t | x_{t-1})$，其中噪声的添加仅基于前一个状态。

在后续部分，我们将详细阐述转移 $q(x_t | x_{t-1})$ 的具体数学形式，这涉及在每一步添加经过仔细调整的高斯噪声，并由预定方案控制。理解这种马尔可夫结构是理解扩散模型如何运作，以及最终它们如何学习逆转此过程以进行生成的第一步。