策略直接参数化

尽管功能强大，但像DQN这样的基于价值的方法面临某些局限性。这些方法主要侧重于学习准确的动作价值估计，$Q(s, a)$，然后从这些价值中得出策略（通常是$\epsilon$-贪婪策略）。这种间接方法在具有范围宽泛、连续动作空间的环境中可能会变得困难，在每个决策点，寻找最大Q值都涉及一个优化步骤。此外，有时最优策略本身就具有固有的随机性，这意味着智能体应根据特定的概率分布随机选择动作，而从Q值派生的确定性策略难以自然地表示这种随机性。

策略梯度方法提供了一条不同的途径。我们不再首先学习价值，而是直接学习策略本身。我们引入一个函数，即策略函数（或简称为策略），它将状态映射到动作（或动作的概率）。该函数拥有一组自己的参数 (parameter)，我们将这些参数统称为$\theta$。我们的目标是调整这些参数$\theta$，以产生尽可能好的行为。

我们将这个参数化的策略表示为$\pi(a|s; \theta)$。这表示在状态$s$下选择动作$a$的概率（或连续动作的概率密度），考虑到策略参数$\theta$。

策略的表示

我们如何实际表示这个函数$\pi(a|s; \theta)$？就像我们在DQN中使用神经网络 (neural network)来近似Q值一样，我们通常使用神经网络来表示策略。

• 输入： 网络接收当前状态$s$作为输入。
• 网络主体： 一系列隐藏层处理状态信息。
• 输出： 网络的输出取决于动作空间的类型：
  • 离散动作： 对于具有有限动作集的环境（如CartPole的左/右移动），网络通常输出这些动作的概率分布。最后一层常用的选择是softmax激活函数 (activation function)，它输出总和为1的正值，表示执行每个动作的概率。例如，如果有两个动作，网络可能会输出$[0.7, 0.3]$，这意味着执行动作1的概率为70%，执行动作2的概率为30%。
  • 连续动作： 对于动作是连续值的环境（例如设置机械臂的角度或汽车的加速度），网络输出定义概率分布的参数 (parameter)。例如，它可能会输出高斯（正态）分布的均值（$\mu$）和标准差（$\sigma$）。为了选择一个动作，我们从该分布中采样，$a \sim \mathcal{N}(\mu(s; \theta), \sigma(s; \theta)^2)$。这使得智能体能够在一定范围内平滑地寻找动作。

该神经网络的权重 (weight)和偏置 (bias)构成了参数$\theta$。学习策略意味着寻找$\theta$的值，使得智能体获得尽可能高的累积奖励。

一个图表，说明策略网络如何将状态作为输入，并输出定义动作选择策略的参数。参数$\theta$是网络内部的权重和偏置。

目标：最大化回报

通过直接参数 (parameter)化策略，我们改变了优化问题。我们不再尝试准确估计Q值。相反，我们寻找使目标函数$J(\theta)$最大化的策略参数$\theta$，该函数通常代表通过遵循策略$\pi(a|s; \theta)$获得的预期总折扣回报。

$$J(\theta) = \mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} \left[ \sum_{t=0}^{T} \gamma^t R(s_t, a_t) \right]$$

这里，$\tau$代表一个轨迹（状态和动作的序列），它由遵循策略$\pi_\theta$生成，$\gamma$是折扣因子，而$R(s_t, a_t)$是获得的奖励。我们的目标是找到使$J(\theta)$尽可能大的$\theta$。

这种直接参数化提供了一些优势：

1. 连续动作的自然处理： 从高斯分布等中采样是直接的。
2. 随机策略的学习： 策略可以明确输出概率，使其能够在需要时学习最优的随机行为。
3. 更简单的动作选择： 一旦策略被习得，选择动作只需将状态输入网络并从输出分布中采样（或采取最可能的动作），避免了Q学习中所需的max操作。

既然我们了解了如何使用参数$\theta$来表示策略，下一步是确定如何有效地调整这些参数，以提高智能体的表现。这引出了这些方法的核心数学依据：策略梯度定理。