本课程中使用的符号表示

为了更好地理解本课程内容，我们需要为涉及的数学对象和运算建立一个统一的符号表示。本节确立了各章中保持一致的符号。尽管我们尽可能遵守机器学习 (machine learning)和深度学习 (deep learning)文献中的标准约定，但本课程内的清晰度和一致性是首要考量。熟悉这些符号将有助于您理解描述模型架构、训练算法和评估指标的方程。

一般数学约定

• 标量： 用小写斜体字母表示（例如 $a, x, \lambda, \eta$）。它们通常表示单个数值，例如学习率、正则化 (regularization)参数 (parameter)，或向量 (vector)/矩阵的单个元素。
• 向量： 用小写粗体字母表示（例如 $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{w}, \mathbf{b}$）。默认情况下，向量假定为列向量。我们将其维度记为 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$，表示一个包含 $d$ 个实数值元素的向量。$\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个元素为 $x_i$。
• 矩阵： 用大写粗体字母表示（例如 $\mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{W}$）。我们将其维度记为 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，表示一个包含 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $W_{ij}$ 或 $w_{ij}$。单位矩阵用 $\mathbf{I}$ 表示。
• 张量： 高阶数组（秩 > 2）有时用大写花体字母表示（例如 $\mathcal{T}$），或者在上下文 (context)清晰表明维度时用大写粗体字母表示（例如一批矩阵）。维度会明确指定，例如 $\mathcal{T} \in \mathbb{R}^{d_1 \times d_2 \times \dots \times d_k}$。
• 索引和求和： 通常用 $i, j, k$ 来索引元素或维度。$t$ 经常用于表示序列中的特定位置或时间步。求和用 $\sum$ 表示。
• 集合： 用大写花体字母表示（例如数据集用 $\mathcal{D}$，词汇表 (vocabulary)用 $\mathcal{V}$）。集合 $\mathcal{S}$ 的大小或基数用 $|\mathcal{S}|$ 表示。
• 函数： 标准数学函数使用斜体小写字母（例如 $f(\cdot), g(\cdot)$）。激活函数 (activation function)通常用希腊字母表示（例如 Sigmoid 函数用 $\sigma(\cdot)$，ReLU 变体（如 GeLU）用 $\phi(\cdot)$）。$L(\cdot)$ 或 $J(\cdot)$ 通常表示损失函数 (loss function)或目标函数。
• 导数和梯度： 标量函数 $J$ 对向量 $\mathbf{w}$ 的梯度表示为 $\nabla_{\mathbf{w}} J(\mathbf{w})$，如果变量在上下文中明确，则简写为 $\nabla J$。偏导数写为 $\frac{\partial f}{\partial x}$。

语言模型专用符号

• 序列： 长度为 $T$ 的输入序列通常表示为词元 (token)列表或元组 $(x_1, x_2, \dots, x_T)$ 或其对应的嵌入 (embedding)向量 (vector) $(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots, \mathbf{x}_T)$。$T$ 表示序列长度。
• 词汇表 (vocabulary)和分词 (tokenization)： 唯一词元（单词、子词 (subword)）的集合是词汇表 $\mathcal{V}$。其大小为 $|\mathcal{V}|$。$x_t$ 通常表示位置 $t$ 处词元的整数索引。
• 嵌入：
  • 词元嵌入矩阵：$\mathbf{E} \in \mathbb{R}^{|\mathcal{V}| \times d_{model}}$，其中 $d_{model}$ 是模型的隐藏维度。
  • 词元索引 $i$ 的嵌入向量：$\mathbf{e}_i$，它是 $\mathbf{E}$ 的第 $i$ 行。
  • 位置 $t$ 的位置编码 (positional encoding)向量：$\mathbf{p}_t \in \mathbb{R}^{d_{model}}$。
  • 位置 $t$ 的输入表示：$\mathbf{z}_t = \mathbf{e}_t + \mathbf{p}_t$（或根据模型而异的变体）。
• Transformer 组成部分：
  • 序列的查询、键、值矩阵：$\mathbf{Q}, \mathbf{K}, \mathbf{V} \in \mathbb{R}^{T \times d_k}$（在单个注意力头内，或投影前为 $\mathbb{R}^{T \times d_{model}}$）。
  • 相关联的权重 (weight)矩阵：$\mathbf{W}^Q, \mathbf{W}^K, \mathbf{W}^V \in \mathbb{R}^{d_{model} \times d_k}$（每个头）或 $\mathbb{R}^{d_{model} \times d_{model}}$（整体投影）。
  • 注意力得分矩阵：$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{T \times T}$。
  • 注意力输出：$Attention(\mathbf{Q}, \mathbf{K}, \mathbf{V}) = \text{softmax}(\frac{\mathbf{Q}\mathbf{K}^T}{\sqrt{d_k}})\mathbf{V}$。
  • 第 $l$ 层的隐藏状态：$\mathbf{H}^{(l)} \in \mathbb{R}^{T \times d_{model}}$。输入嵌入通常是 $\mathbf{H}^{(0)}$。
  • 前馈网络：FFN($\cdot$)。
• 模型参数 (parameter)： 所有可训练参数（权重和偏置 (bias)）的集合用 $\theta$ 表示。
• 数据与训练：
  • 数据集：$\mathcal{D}$。
  • 训练示例：$(\mathbf{x}, y)$，其中 $\mathbf{x}$ 是输入，$y$ 是目标。
  • 数据批次：$\mathcal{B}$。批次大小 $B = |\mathcal{B}|$。
  • 损失函数 (loss function)：$\mathcal{L}(\theta)$ 或 $J(\theta)$。单示例损失 $L(\hat{y}, y)$。
• 概率：
  • 概率分布：$P(\cdot)$。
  • 条件概率：$P(Y | X)$。
  • 模型在给定上下文 (context) $\mathbf{c}$ 下对词元 $y$ 的预测概率：$P_{\theta}(y | \mathbf{c})$。
• 超参数 (hyperparameter)：
  • 学习率：$\eta$。
  • 层数：$L$。
  • 模型隐藏维度：$d_{model}$。
  • FFN 中间维度：$d_{ff}$。
  • 注意力头数量：$h$。
  • 每个头的维度：$d_k = d_{model} / h$。
  • Dropout 概率：$p_{drop}$。
  • 权重衰减系数：$\lambda$。

代码对应关系 (PyTorch 示例)

数学符号与 PyTorch 等框架中的张量运算直接对应。掌握这种对应关系有助于代码实现。

• 一个向量 (vector) $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$：

  import torch
  d = 128
  x = torch.randn(d) # 通常是一个一维张量
  # 或者显式地表示为一个列向量（二维张量）
  x_col = torch.randn(d, 1)
  print(f"向量形状: {x.shape}, 列向量形状: {x_col.shape}")
  

• 一个矩阵 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$：

  m, n = 64, 128
  W = torch.randn(m, n) # 一个二维张量
  print(f"矩阵形状: {W.shape}")
  

• 矩阵-向量乘法 $\mathbf{y} = \mathbf{W}\mathbf{x} + \mathbf{b}$，其中 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$：

  # 假设 W 来自上方，并匹配 x, b
  n = 128
  m = 64
  x = torch.randn(n)
  b = torch.randn(m)
  W = torch.randn(m, n)
  
  # 使用 torch.matmul 或 @ 运算符
  y = W @ x + b
  # 替代方法：torch.nn.functional.linear
  # import torch.nn.functional as F
  # y_f = F.linear(x, W, b) # 注意：F.linear 有时隐式地需要 W^T，请查阅文档
  
  print(f"输入 x 形状: {x.shape}")
  print(f"权重 W 形状: {W.shape}")
  print(f"偏置 b 形状: {b.shape}")
  print(f"输出 y 形状: {y.shape}")
  
  

• 批处理：通常，第一个维度表示批次大小 $B$。例如，一个序列批次的形状可能是 $(B, T, d_{model})$。

这些符号构成了我们后续讨论的根本。后续章节中引入的任何偏差或特定于上下文 (context)的符号都将在局部定义。在学习过程中请随时参考此部分。