随机梯度下降（SGD）

如前所述，使用整个数据集（批量梯度下降）计算梯度来更新每一个参数，计算成本会变得非常高昂，特别是在深度学习中常见的海量数据集下。设想一下，为了迈出微小一步，就需要对数百万张图像计算损失和梯度！这种方法还需要将整个数据集加载到内存中，这通常是不可行的。

随机梯度下降（SGD）提供了一种实用且出人意料地有效的替代方案。SGD不使用完整数据集，而是在每一步仅使用一个训练样本来近似梯度。

SGD的运作机制

核心思想很简单：

1. 从数据集中随机选择一个训练样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$。
2. 计算这个单一样本的损失 $L(f(x^{(i)}; W), y^{(i)})$。
3. 仅使用此样本，计算损失关于参数 $W$ 的梯度：$\nabla_W L(f(x^{(i)}; W), y^{(i)})$。
4. 使用此梯度更新参数： $$W \leftarrow W - \eta \nabla_W L(f(x^{(i)}; W), y^{(i)})$$ 其中 $\eta$ 是学习率。

这个过程会重复进行，通常是每次处理一个样本，遍历整个数据集。遍历整个数据集一次被称为一个周期（epoch）。因为每次更新只使用一个样本，所以计算出的梯度是对真实梯度（即在完整数据集上计算出的梯度）的“带噪声”估计。

为何使用带噪声的梯度？

虽然使用单个样本会引入噪声，但它带来了显著的优势：

1. 计算效率： 更新速度极快。你只需要对一个样本进行前向和后向传播，与批量梯度下降（Batch GD）相比，每次更新的计算量大幅减少。
2. 频繁更新： 参数更新频率更高（每个周期N次，N是数据集大小），这可能导致实际运行时间上更快的收敛，即使可能需要更多的总步数。
3. 内存效率： 梯度计算时，一次只需要一个训练样本在内存中。

“随机”一词指的是这种随机抽取单个样本来估计梯度的做法。虽然每一步可能不会直接指向整体损失函数的最小值，但多步的平均行为倾向于将参数朝着正确的方向移动。

SGD的更新路径

梯度估计的噪声特性意味着SGD趋向最小值的路径通常是不规则的，会围绕着批量梯度下降（Batch GD）可能采取的最优路径曲折前进。然而，这种噪声并非总是有害的。

简单损失曲面上的优化路径对比。批量梯度下降（Batch GD）沿着更平滑的路径直接趋向最小值，而SGD由于单个样本的梯度估计，会采取一条更带噪声、曲折的路径。

这种噪声有时能帮助优化过程脱离浅层局部最小值或鞍点，这些区域的梯度接近零，但并非真正的最优解。随机波动可能会“推动”参数离开这些区域。

然而，噪声也意味着SGD可能难以精确收敛到最小值。即使在训练后期，参数也经常在最小值附近持续振荡。这就是为什么在使用SGD时，诸如随时间降低学习率等方法很重要。

数据洗牌

在使用SGD（及其变体，如小批量梯度下降）时，一种常见做法是在每个周期之前打乱训练数据集。如果数据以固定的、有意义的顺序呈现（例如，先是所有A类样本，然后是所有B类样本），那么同一类别批次内的梯度将高度相关，这可能会使更新产生偏差并阻碍收敛。洗牌确保连续的更新基于更多样化的样本，从而随时间产生一个更具代表性（尽管仍然带噪声）的梯度估计。

与在线学习的关联

SGD本质上是在执行“在线学习”，即模型随着数据的到来，每次从一个样本中学习。这使得它适用于数据持续流入且无法完全存储的场景。

虽然纯SGD（仅使用一个样本）提供了理论基础，但在实践中，其带噪声的更新可能导致收敛缓慢或不稳定。这引出了小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent），它在批量梯度下降的稳定性和SGD的效率之间提供了一种折衷。