弹性网络：L1与L2的结合

L1正则化 (regularization)通过将某些权重 (weight)精确地推向零来促使稀疏性，从而有效地进行特征选择。L2正则化，通常被称为权重衰减，它总体上偏好较小的权重，并倾向于将相关特征组一起收缩，而无需将它们设为零。

如果你想兼得这些效果怎么办？也许你怀疑许多特征是无关紧要的（这提示使用L1），但你也认为可能存在重要的相关特征组，并且你不希望L1随意地从组中只挑选一个（这是L2表现出色的情况）。这正是弹性网络正则化发挥作用的地方。

弹性网络线性结合了L1和L2惩罚项。不仅仅是在原始损失函数 (loss function) $L_{orig}(w)$ 中添加一种惩罚项，而是添加两种：

$$L_{elastic}(w) = L_{orig}(w) + \lambda_1 ||w||_1 + \lambda_2 ||w||_2^2$$

在此，$||w||_1$ 是L1范数（权重绝对值之和），$||w||_2^2$ 是L2范数的平方（权重平方和）。超参数 (parameter) (hyperparameter) $\lambda_1 \ge 0$ 和 $\lambda_2 \ge 0$ 分别控制L1和L2惩罚项的强度。

通常，你会在库中看到这种公式有不同的参数化方式，这样可以更容易地调整整体强度与混合比例：

$$L_{elastic}(w) = L_{orig}(w) + \alpha \left( \rho ||w||_1 + \frac{1 - \rho}{2} ||w||_2^2 \right)$$

在这种常见的参数化方式中：

• $\alpha$（alpha）是一个非负超参数，用于控制正则化的整体强度。如果 $\alpha = 0$，则没有正则化。较大的 $\alpha$ 会增加惩罚。
• $\rho$（rho，在库中常被称为 l1_ratio）是一个介于0和1之间的超参数，用于控制L1和L2之间的混合。
  • 如果 $\rho = 1$，弹性网络就变为纯粹的L1正则化。
  • 如果 $\rho = 0$，弹性网络就变为纯粹的L2正则化（按 $\alpha/2$ 缩放）。
  • 如果 $0 < \rho < 1$，则是两者的混合。

这种组合的益处

弹性网络旨在同时获得两者的优点：

1. 稀疏性： 像L1一样，它可以通过将一些权重 (weight)设为零来进行特征选择，在处理许多特征可能无关紧要的高维数据时尤其有用。
2. 处理相关特征： 像L2一样，它倾向于同时选择相关特征组。如果特征A和B高度相关且有用，L1可能会随意地将其中一个设为零，而弹性网络（当 $\rho < 1$ 时）更可能以类似方式收缩它们的权重，从而可能使两者都保持非零。
3. 稳定性： 它通常比L1正则化 (regularization)表现出更高的稳定性，特别是在特征数量 ($p$) 远大于训练样本数量 ($n$) 时，或者当特征高度相关时。

可视化约束

我们可以将正则化 (regularization)看作是对可能权重 (weight)值的限制。L1正则化对应一个菱形约束区域（在二维空间中），而L2对应一个圆形区域。弹性网络创建的约束区域结合了这两种形状，具有圆角，但与纯L2相比，仍然偏向于沿坐标轴的解。

L1、L2和弹性网络正则化在二维空间中约束区域的比较。弹性网络将L1的锐角（促使稀疏性）与L2的圆润度结合起来。

弹性网络的调整

使用弹性网络会引入两个需要调整的超参数 (parameter) (hyperparameter)：整体强度 $\alpha$ 和混合比例 $\rho$（l1_ratio）。找到最佳组合通常需要使用网格搜索或随机搜索等方法，在两个参数的可能值范围内进行，并使用验证集来评估性能。一种常见的方法是尝试 $\rho$ 的几个离散值（例如0.1、0.5、0.9、1.0），并为每个 $\rho$ 寻找最佳的 $\alpha$。

实现方面的考虑

尽管L2正则化 (regularization)（权重 (weight)衰减）通常直接内置于Adam或SGD等优化器中，但在深度学习 (deep learning)中实现L1或弹性网络惩罚项可能需要根据框架的不同而稍加注意。

• 层特定正则化器： 某些框架（如Keras/TensorFlow）允许你在定义层时直接指定 kernel_regularizer、bias_regularizer 等。你通常可以在这里传递L1、L2或弹性网络正则化器。
• 手动添加到损失： 一种更通用的方法，适用于PyTorch等框架，是在训练循环中手动计算相关模型参数 (parameter)的L1和L2惩罚项，并在反向传播 (backpropagation)之前将它们添加到主要的计算损失中。

以下是手动添加惩罚项的PyTorch示例：

import torch
import torch.nn as nn

# 假设 'model' 是你的神经网络
# 假设 'loss' 是从你的准则（例如，交叉熵损失）计算出的损失

alpha = 0.001 # 正则化强度
l1_ratio = 0.5 # 混合参数 (rho)

l1_lambda = alpha * l1_ratio
l2_lambda = alpha * (1 - l1_ratio)

l1_penalty = 0.0
l2_penalty = 0.0

# 遍历模型参数（权重）
for param in model.parameters():
    if param.requires_grad and param.dim() > 1: # 通常只应用于权重矩阵
        l1_penalty += torch.linalg.norm(param, ord=1)
        l2_penalty += torch.linalg.norm(param, ord=2)**2 # L2 范数平方

# 将原始损失与惩罚项结合
total_loss = loss + l1_lambda * l1_penalty + (l2_lambda / 2) * l2_penalty
# （L2惩罚项中的1/2因子在第二种公式中很常见）

# 现在进行反向传播
# total_loss.backward()
# optimizer.step()

注意：这只是一个示例。高效的实现通常会与框架的梯度计算或优化器步骤挂钩。请查阅你的框架文档，了解应用L1/L2组合惩罚项的推荐方法。

当你认为稀疏性和处理相关预测器都是可取的时，弹性网络提供了一种灵活的正则化选项。它需要调整一个额外的超参数 (hyperparameter)，但在某些情况下，它可以使模型比仅使用L1或L2正则化训练的模型具有更好的泛化能力。