梯度下降的直观原理

梯度$\nabla J(\theta)$指向成本函数$J(\theta)$增长最快的方向。然而，我们在机器学习 (machine learning)优化中的目标通常相反：我们希望最小化成本函数，以找到能提供最佳表现的模型参数 (parameter)$\theta$。那么，梯度如何能帮助我们下坡而不是上坡呢？

想象你正站在一个山坡上，周围浓雾弥漫。你看不见谷底（最小值），但能感觉到脚下地面的坡度。要下山，最直观的做法是确定最陡峭的下降方向，然后朝那个方向迈出一步。你重复这个过程，不断检查坡度并向下迈步，希望能最终到达底部。

梯度下降 (gradient descent)的工作原理与此非常相似。在我们的参数空间中，任何点$\theta$处可以测量的“坡度”由梯度$\nabla J(\theta)$给出。由于梯度指向上坡（最陡峭的上升方向），因此最陡峭的下降方向就是其反方向：$-\nabla J(\theta)$。

因此，梯度下降的核心思想是，从参数$\theta$的某个初始猜测开始，然后通过朝着负梯度方向迈出小步来迭代更新它们。理想情况下，每一步都应使我们更接近成本函数$J(\theta)$最小的点。

设想一个依赖于两个参数$\theta_1$和$\theta_2$的简单成本函数。我们可以将此函数可视化为一个曲面，或者更常见地，使用等高线来表示，其中每条线代表成本相同的点。

一张显示成本函数$J(\theta_1, \theta_2)$等高线的等高线图。红线描绘了梯度下降所走的步长，从一个初始点开始，并朝着最小值（绿色“x”）移动，始终垂直于等高线（即沿着负梯度的方向）。

每一步都包含两个部分：

1. 计算方向：在当前的参数值处找到负梯度$-\nabla J(\theta)$。这告诉我们最陡峭的下降方向。
2. 迈出一步：通过在该方向上移动一定距离来更新参数。

每次迭代中迈出步长的大小是一个重要因素。如果步长太大，我们可能会越过最小值并出现不规则的震荡，甚至可能发散。如果步长太小，算法可能需要很长时间才能达到最小值。这个步长由一个称为学习率的参数控制，我们很快将详细讨论它。

本质上，梯度下降提供了一种自动化的方式，来沿着成本函数的“山坡”走下去。通过重复计算局部坡度（梯度）并朝着向下方向迈出一步，它在参数空间中移动以找到使成本$J(\theta)$最小的值$\theta$，从而优化机器学习模型。