在讨论导数所表示的瞬时变化率之前,我们需要一种方法来描述函数值在其输入非常接近某个点(不一定达到该点)时的表现。这就是极限的理念。可以把它想成是无限放大图上的一个点,观察函数趋向何处。
设有一个函数 f(x)。我们想了解当 x 趋近某个值 a 时,f(x) 的行为。我们关注的是当 x 从两侧(小于 a 的值和大于 a 的值)越来越接近 a 时,f(x) 越来越接近的值,但 x 不一定等于 a 本身。
形式化这个思想:极限
数学上,我们称 f(x) 当 x 趋近 a 时的极限为 L,记作:
limx→af(x)=L
这个表述意味着,我们可以通过选取足够接近 a 但不等于 a 的 x,使 f(x) 的值任意接近 L。
即使函数在 x=a 处没有定义,极限也可能存在。这一点很重要。极限描述的是点附近的趋势,而不是点本身的值。
我们来看一个例子。考虑函数:
f(x)=x−1x2−1
当 x 趋近 1 时会发生什么?如果我们尝试代入 x=1,我们会得到 1−112−1=00,这是未定义的。然而,对于 x=1,我们可以简化函数:
f(x)=x−1(x−1)(x+1)=x+1(对于 x=1)
现在,当 x 非常接近 1 时(例如 0.9, 0.99, 0.999 或 1.1, 1.01, 1.001),f(x) 的值非常接近 1+1=2。即使 f(1) 未定义,极限仍然存在:
limx→1x−1x2−1=2
函数 f(x)=(x2−1)/(x−1) 的行为与 f(x)=x+1 完全一致,除了在 x=1 处未定义(由空心圆表示)。当 x 趋近 1 时,极限是 2,这表示函数在“空心”点附近趋近的 y 值。
单侧极限
有时,我们可能只关注当 x 从某个特定方向趋近 a 时发生的情况:
- 左极限: x 通过小于 a 的值趋近 a。记作 limx→a−f(x)。
- 右极限: x 通过大于 a 的值趋近 a。记作 limx→a+f(x)。
为了使总极限 limx→af(x) 存在并等于 L,左极限和右极限都必须存在且等于 L。
为什么极限对导数很重要
极限的理念是构建导数定义的根基。如章节引言中所述,导数衡量的是瞬时变化率,本质上是一个函数在单个点的斜率。
我们如何找到单个点的斜率?我们首先找到连接函数曲线上两点(割线)的直线的斜率。然后,我们使用极限的理念使其中一个点无限接近另一个点。当点之间的距离趋近于零时,这些割线斜率的极限,就是该单个点处切线的斜率。这个取极限的过程正是导数的定义所在,我们将在下一节正式定义它。理解极限使我们能够将“区间上的平均变化率”转换为“点上的瞬时变化率。