元梯度的计算挑战

将元学习，特别是基于梯度的方法，应用于基础模型带来了重大的计算障碍，主要源于元梯度的计算。尽管元学习的架构包含一个外循环，根据内循环适应后的性能来优化元参数 (parameter) ($\theta$)，但计算外循环梯度 ($\nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{meta}}$) 的实际操作既复杂又资源密集，尤其是在大规模应用时。

通过适应过程进行微分的开销

主要困难在于元目标 $\mathcal{L}_{\text{meta}}$ 是使用参数 (parameter) $\phi_i$ 进行评估的，而 $\phi_i$ 本身是应用于元参数 $\theta$ 的优化过程（内循环更新）的结果。以 MAML 这样典型的基于梯度的元学习配置为例。对于单个任务 $i$，经过一步梯度下降 (gradient descent)后，适应的参数 $\phi_i$ 如下：

$$\phi_i = \theta - \alpha \nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta)$$

这里，$\mathcal{L}_{\text{train}, i}$ 是任务 $i$ 支持集上的损失，$\alpha$ 是内循环学习率。元目标通常是元批次中任务查询集上的平均损失，使用这些适应的参数进行评估：$\mathcal{L}_{\text{meta}} = \sum_i \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i)$。

为了更新元参数 $\theta$，我们需要梯度 $\nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{meta}}$。应用链式法则得到：

$$\nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{meta}} = \sum_i \nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i) = \sum_i \nabla_{\phi_i} \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i) \cdot \nabla_\theta \phi_i$$

复杂度源于雅可比项 $\nabla_\theta \phi_i$：

$$\nabla_\theta \phi_i = \nabla_\theta (\theta - \alpha \nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta)) = I - \alpha \nabla^2_{\theta} \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta)$$

将其代回，显示出对内循环目标的海森矩阵 $\nabla^2_{\theta} \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta)$ 的依赖：

$$\nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{meta}} = \sum_i (I - \alpha \nabla^2_{\theta} \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta))^T \nabla_{\phi_i} \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i)$$

这种对二阶导数的明确依赖是 MAML 等算法计算开销的主要来源。

二阶导数与内存消耗

计算和存储一个拥有数十亿参数 (parameter) ($d$) 的基础模型的完整海森矩阵在计算上是不可行的，需要 $O(d^2)$ 的内存和计算量。MAML 的实际实现会避免形成完整的海森矩阵。相反，它们计算海森向量 (vector)积 (HVP)：$(\nabla^2_{\theta} \mathcal{L}_{\text{train}, i}(\theta)) \cdot v$，这里的向量 $v$ 为 $\nabla_{\phi_i} \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i)$。

这个 HVP 可以高效地计算，无需实例化完整的海森矩阵，通常使用与自动微分相关的技术（例如，第二次反向传播 (backpropagation)或结合正向和反向传播）。然而，即使计算 HVP 也会带来显著的开销：

1. 计算量增加： 与标准的 first-order 梯度计算相比，它需要模型进行额外的正向和/或反向传播。单个元梯度步骤涉及多个内循环步骤（每个步骤都是一次正向/反向传播），然后是元梯度计算，元梯度计算本身又涉及评估 $\nabla_{\phi_i} \mathcal{L}_{\text{test}, i}$（又一次反向传播），以及随后的 HVP 计算。这会使每次外循环更新的计算负担大幅增加。

2. 内存占用： 最主要的瓶颈通常是内存。为了计算元梯度，特别是二阶项，自动微分框架需要维护整个内循环优化过程的计算图。这包括正向传播中的激活以及内循环更新中可能使用的中间梯度。如果内循环涉及多个梯度步骤，此图的大小会随着步骤数线性增长。对于像 Transformer 这样的深度网络，每层的激活会消耗相当大的内存。存储应用于数十亿参数模型的多个适应步骤的图，会迅速耗尽标准加速器（GPU/TPU）上的可用内存。

下图说明了单步 MAML 元梯度计算中的数据流和依赖关系，强调了需要保留计算图的位置。

用于计算单个任务 MAML 元梯度的计算图依赖关系。内循环计算（正向传播、反向传播、参数更新）必须保留在内存中（橙色虚线），以计算二阶外循环梯度所需的海森向量积 (HVP)。

一阶近似：一种权衡

认识到这些困难，开发了 MAML 的一阶近似方法，例如 FOMAML 和 Reptile。FOMAML 明确忽略了二阶项，将元梯度近似为：

$$\nabla_\theta \mathcal{L}_{\text{meta}} \approx \sum_i \nabla_{\phi_i} \mathcal{L}_{\text{test}, i}(\phi_i)$$

这种计算只需相对于适应参数 (parameter) $\phi_i$ 计算测试损失的标准梯度，将 $\phi_i$ 视为一个独立参数而非 $\theta$ 的函数。这完全避免了 HVP 计算，并大幅减少了内存需求，因为内循环的计算图不需要为外循环的反向传播 (backpropagation)保留。Reptile 通过一种与有限差分相关的不同更新规则达到了类似的效果。

尽管计算成本低得多，但一阶方法代表了一种近似。与二阶方法相比，它们可能表现出不同的收敛动态，并可能导致不同的解，尽管在许多实际情况下，特别是在大型模型和适当调整下，它们的表现非常出色。

总而言之，元梯度的计算，特别是 MAML 中涉及二阶导数的那些计算，在处理基础模型时带来了主要的计算和内存瓶颈。通过内循环优化过程进行微分的需求，要么需要昂贵的海森向量 (vector)积，要么以牺牲近似精度为代价打破计算图依赖。理解这些困难是开发策略的第一步，这些策略将在后续讨论，以使元学习在大规模应用中变得可行。