计算梯度：链式法则

训练神经网络 (neural network)需要调整其权重 (weight)以最小化损失函数 (loss function) $L$。梯度下降 (gradient descent)要求计算该损失函数相对于网络中每个权重和偏置 (bias)的梯度，通常表示为 $\nabla L$。对于一个可能拥有数百万个参数 (parameter)并分布在多层中的网络，计算网络内部较深层权重对最终损失的影响是一项挑战。损失函数并非该特定权重的直接函数；它是网络输出的函数，而网络输出又依赖于中间激活值，中间激活值又进一步依赖于更早的激活值和权重，形成了一条长长的依赖链。

微积分中的一个基本原理在此发挥作用：链式法则。链式法则提供了一种计算复合函数（即相互嵌套的函数）导数的方法。这正是我们在神经网络中遇到的情况。

链式法则：复合函数的导数

让我们回顾一下基本思路。假设我们有一个简单的函数组合。如果变量 $y$ 依赖于变量 $u$，写作 $y = f(u)$，而 $u$ 又依赖于另一个变量 $x$，写作 $u = g(x)$，那么 $y$ 通过 $u$ 间接依赖于 $x$：$y = f(g(x))$。

链式法则告诉我们如何求 $y$ 相对于 $x$ 的变化率，表示为 $dy/dx$。它表明这个导数是“外层”函数相对于其输入的导数与“内层”函数相对于其输入的导数的乘积：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$

可以将其视为敏感度的传递。如果 $x$ 发生微小变化， $y$ 会变化多少？这取决于当 $x$ 变化时 $u$ 变化了多少 ($du/dx$)，再乘以当 $u$ 变化时 $y$ 变化了多少 ($dy/du$)。

我们可以将此推广到更长的链条。如果 $z = f(y)$，$y = g(x)$，且 $x = h(w)$，那么 $z$ 通过这个链条依赖于 $w$。$z$ 相对于 $w$ 的导数可以通过将路径上的导数相乘得到：

$$\frac{dz}{dw} = \frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dw}$$

将链式法则应用于神经网络 (neural network)

现在，让我们将其与神经网络联系起来。考虑一个非常简单的网络，它有一个输入 $x$，一个隐藏神经元 $h$，和一个输出神经元 $y$。计算步骤如下：

1. 隐藏神经元的预激活值：$z_1 = w_1 x + b_1$
2. 隐藏神经元的激活值：$h = \sigma(z_1)$（其中 $\sigma$ 是激活函数 (activation function)）
3. 输出神经元的预激活值：$z_2 = w_2 h + b_2$
4. 输出神经元的激活值（预测值）：$y = \sigma(z_2)$
5. 损失计算：$L = \text{Loss}(y, y_{true})$（例如，平方误差 $L = (y - y_{true})^2$）

简单神经网络中的前向传播计算。箭头表示依赖关系。计算损失 $L$ 相对于早期权重 (weight)（如 $w_1$）的梯度，需要使用链式法则，通过这些依赖关系向后传递导数。

假设我们要找到损失 $L$ 相对于权重 $w_1$ 的梯度。$L$ 依赖于 $y$， $y$ 依赖于 $z_2$， $z_2$ 依赖于 $h$， $h$ 依赖于 $z_1$，而 $z_1$ 依赖于 $w_1$。使用链式法则，我们可以将导数 $\partial L / \partial w_1$ 写为：

$$\frac{\partial L}{\partial w_1} = \frac{\partial L}{\partial y} \times \frac{\partial y}{\partial z_2} \times \frac{\partial z_2}{\partial h} \times \frac{\partial h}{\partial z_1} \times \frac{\partial z_1}{\partial w_1}$$

让我们逐项分析：

• $\partial L / \partial y$：损失函数 (loss function)如何随最终预测值 $y$ 变化。这取决于所使用的具体损失函数。对于 $L = (y - y_{true})^2$，其值为 $2(y - y_{true})$。
• $\partial y / \partial z_2$：输出激活值如何随其预激活值 $z_2$ 变化。这是输出激活函数的导数，即 $\sigma'(z_2)$。
• $\partial z_2 / \partial h$：输出预激活值 $z_2$ 如何随隐藏激活值 $h$ 变化。由于 $z_2 = w_2 h + b_2$，此导数即为 $w_2$。
• $\partial h / \partial z_1$：隐藏激活值如何随其预激活值 $z_1$ 变化。这是隐藏层激活函数的导数，即 $\sigma'(z_1)$。
• $\partial z_1 / \partial w_1$：隐藏预激活值 $z_1$ 如何随权重 $w_1$ 变化。由于 $z_1 = w_1 x + b_1$，此导数即为 $x$。

将这个特定例子中的所有项组合起来：

$$\frac{\partial L}{\partial w_1} = \underbrace{2(y - y_{true})}_{\partial L / \partial y} \times \underbrace{\sigma'(z_2)}_{\partial y / \partial z_2} \times \underbrace{w_2}_{\partial z_2 / \partial h} \times \underbrace{\sigma'(z_1)}_{\partial h / \partial z_1} \times \underbrace{x}_{\partial z_1 / \partial w_1}$$

注意，此计算涉及到在前向传播过程中计算出的项（如 $x, h, y, z_1, z_2$），以及在预激活值处评估的激活函数导数。链式法则提供了一种系统方法，可以将这些局部导数相乘，以求得损失函数对特定权重的整体敏感度，无论该权重在网络中处于何层。

在每层有多个神经元的多层网络中，依赖关系变得更加复杂（一个神经元的输出会影响下一层中的多个神经元），涉及导数的求和。然而，核心原理不变：链式法则允许我们通过逐层向后传播导数信息来计算梯度。链式法则的这种系统应用正是反向传播 (backpropagation)算法所实现的，我们将在接下来的章节中详细说明。理解链式法则，是理解神经网络如何学习的重要一步。