多层感知机 (MLP)：添加层次

单层感知机虽然是基础，但存在一个显著的局限性：它只能学习线性可分模式。像经典的XOR（异或）函数这样的问题超出了它的能力范围，因为在输入空间中，这些类别（0和1输出）无法通过一条直线来分开。为了处理这种非线性关系，我们需要为网络结构引入更多的复杂性。多层感知机（MLP）便因此出现。

多层感知机背后的主要思想简单而有效：在输入层和输出层之间插入一个或多个神经元层。这些中间层被称为隐藏层。它们之所以“隐藏”，是因为它们的输出不直接作为网络的最终结果被观察到；相反，它们充当后续层的输入。

多层感知机的架构

多层感知机由以下部分组成：

1. 输入层： 这一层接收初始数据（特征）。这一层中的神经元数量与输入数据中的特征数量相对应。它不执行计算；它只是将数据传递给第一个隐藏层。
2. 隐藏层： 一个或多个位于输入层和输出层之间的层。每个隐藏层包含一定数量的神经元（也称为隐藏单元）。这些神经元执行计算：它们对前一层的输出进行加权求和，添加一个偏置 (bias)，并应用一个激活函数 (activation function)。隐藏层的存在使得网络能够从数据中学习复杂的模式和表示。
3. 输出层： 产生网络预测的最终层。这一层中使用的神经元数量和激活函数取决于具体的任务（例如，一个神经元使用Sigmoid激活函数用于二分类，多个神经元使用Softmax用于多分类，或者一个神经元使用线性激活函数用于回归）。

在多层感知机中，信息通常沿一个方向流动：从输入层，经过隐藏层，到达输出层。这种架构被称为前馈网络。在前向传播（预测阶段）期间，层结构内部没有循环或将信息回传的连接。通常，一层中的每个神经元都连接到后续层中的每个神经元，形成所谓的全连接层或密集层。

一个简单的多层感知机，包含一个输入层（2个神经元）、一个隐藏层（3个神经元）和一个输出层（1个神经元）。连接表示信息的前馈流动。

克服线性局限

隐藏层如何解决单层感知机面临的问题？主要在于多层结构与非线性激活函数 (activation function)的结合（我们将在下一章中详细探讨）。

设想第一个隐藏层中的每个神经元学习一个简单的线性边界，类似于单个感知机。然而，这些神经元的输出在经过非线性激活函数转换后，成为下一层的输入。随后层中的神经元可以组合这些非线性变换。

实际上，隐藏层学习将输入数据转换为新的表示空间。在这个转换后的空间中，最初的非线性可分问题可以变为线性可分。对于XOR问题，隐藏层可以学习表示，使得属于不同类别的点随后可以通过输出层神经元用一条直线分开。增加层次（更多层）使得网络能够从数据中学习日益复杂的函数和分层特征。

为了使多层感知机学习非线性函数，隐藏神经元中使用的激活函数必须是非线性的（例如，Sigmoid、Tanh、ReLU）。如果整个网络中只使用线性激活函数，那么整个多层感知机，无论有多少层，都将在数学上退化为一个等效的单层线性模型，从而使我们回到感知机的局限性。

总而言之，多层感知机通过引入隐藏层克服了单层模型的限制。这些层结合非线性激活函数，使得多层感知机能够学习输入和输出之间复杂的非线性映射，使其成为各种机器学习 (machine learning)任务的有力工具。它们为许多更高级深度学习 (deep learning)架构奠定了根基。